Sottospazi affini e parallellismo
Sto svolgendo alcuni esercizi sugli spazi affini e vorrei essere sicuro che il mio ragionamento sia esatto.
Sono corrette le seguenti implicazioni?
1) Siano r e r' due rette in [tex]\Re^{3}[/tex] .
[tex]r \cap r' = \emptyset \Leftrightarrow r // r'[/tex]
2) Siano A e B due sottospazi di uno spazio E di dimensione n.
[tex]A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A // B[/tex]
è corretto?
Sono corrette le seguenti implicazioni?
1) Siano r e r' due rette in [tex]\Re^{3}[/tex] .
[tex]r \cap r' = \emptyset \Leftrightarrow r // r'[/tex]
2) Siano A e B due sottospazi di uno spazio E di dimensione n.
[tex]A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A // B[/tex]
è corretto?
Risposte
Non sono del tutto corrette.
In uno spazio $3$-dimensionale $r||r'$ può implicare o che abbiano intersezione vuota oppure che esse sono coincidenti.
Inoltre dal fatto che abbiano intersezione vuota non puoi affermare a priori che esse son parallele in quanto potrebbero essere sghembe.
In egual modo nel caso si tratti di varietà lineari.
In uno spazio $3$-dimensionale $r||r'$ può implicare o che abbiano intersezione vuota oppure che esse sono coincidenti.
Inoltre dal fatto che abbiano intersezione vuota non puoi affermare a priori che esse son parallele in quanto potrebbero essere sghembe.
In egual modo nel caso si tratti di varietà lineari.
Puoi scrivedere, date due varietà lineari $A_s~(A,F)$ e $A_r~(B,G)$, diremo che $A_s$ è parallela ad $A_r$ se e soltanto se $FsubG$
Perciò segue questa semplice proprietà:
1) $A_ssubA_r->$$A_s$ è parallela ad $A_r$
2) $A_s$ parallela ad $A_r->A_rnnA_s$ è uguale all'insieme vuoto, oppure che $A_ssubA_r$ e, in quest'ultimo caso $A_s=A_rhArrs=r$
Perciò segue questa semplice proprietà:
1) $A_ssubA_r->$$A_s$ è parallela ad $A_r$
2) $A_s$ parallela ad $A_r->A_rnnA_s$ è uguale all'insieme vuoto, oppure che $A_ssubA_r$ e, in quest'ultimo caso $A_s=A_rhArrs=r$
in altre parole se nelle mie due implicazioni iniziali ponevo i due sottospazi diversi le cose erano corrette?
Scusami Hop Frog, non ho ben capito cosa intendi.
se io inizialmente avessi scritto:
1) Siano r e r' due rette in \Re^{3} con r diverso da r'.
[tex]r \cap r' = \emptyset \Leftrightarrow r // r'[/tex]
2) Siano A e B due sottospazi di uno spazio E di dimensione n, con A diverso da B.
[tex]A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A // B[/tex]
è corretto?
1) Siano r e r' due rette in \Re^{3} con r diverso da r'.
[tex]r \cap r' = \emptyset \Leftrightarrow r // r'[/tex]
2) Siano A e B due sottospazi di uno spazio E di dimensione n, con A diverso da B.
[tex]A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A // B[/tex]
è corretto?
Per quanto riguarda la 1), vale solo un'implicazione, precisamente la $\Leftarrow$. (Prova a dimostrarlo, se hai problemi fai un fischio)
L'altra implicazione è falsa. Controesempio: due rette sghembe in $RR^3$ hanno intersezione nulla ma non sono parallele.
L'altra implicazione è falsa. Controesempio: due rette sghembe in $RR^3$ hanno intersezione nulla ma non sono parallele.
Mmm non ancora, perchè nel caso dell' implicazione $->$ potrebbero le nostre varietà essere sghembe.
PS Scusami Cirasa non avevo visto la tua risposta.
PS Scusami Cirasa non avevo visto la tua risposta.
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