Sottospazi

[Vitin0]

Si determini per quali valori del parametro reale h l'insieme S è sottospazio di $ RR^(4) $

S={(x,y,z,t)appartenente a $ RR^(4) $ | x-hy^2=z, x+t=0}

[_prime_number]

Qual è il problema? Se deve essere un sottospazio vettoriale, devi verificare se le 3 proprietà valgono:
1. [tex]0\in S[/tex]
2. [tex]\forall v, w \in S[/tex] (cioè devono verificarne le equazioni) accade che [tex]v+w\in S[/tex]
3. [tex]\forall v\in S, \lambda\in\mathbb{R}[/tex] accade che [tex]\lambda v\in S[/tex]
Prova e vediamo dove ti blocchi.

Paola

P.S. Ti invito ad usare il sistema per scrivere le formule, vedi ne "Il nostro forum".

[Vitin0]

so che devo verificare le proprietà ma devo verificarle ponendo h= a qualcosa? oppure

[_prime_number]

Dovrai porre quelle 3 condizioni e da questo ricavare eventuali valori di $h$.
Sei tu che cerchi di imporre che sia uno spazio vettoriale.

Paola

[Vitin0]

non ho capito ancora come faccio a ricavare h.. mi faresti vedere..

[_prime_number]

Il punto 1 si verifica facilmente e vale indipendentemente da $h$.
Ad esempio, il $2$:
siano $v_1=(x_1,y_1,z_1,t_1),v_2=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S$ (cioè, attenzione, ne verificano singolarmente le equazioni).
Imponiamo che la loro somma stia in $S$:
$\{(x_1+x_2 - h(y_1+y_2)^2 = z_1+z_2),(x_1+x_2+t_1+t_2=0):}$
La seconda equazione è verificata perchè per ipotesi sappiamo che $x_i+t_i=0$ per entrambi $i=1,2$.
Vediamo la prima:$x_1 + x_2 - hy_1^2 -hy_2^2 - 2hy_1 y_2=z_1+z_2$.
Per ipotesi sappiamo che per ogni $i=1,2$ abbiamo $x_i-hy_i^2=z_i$ quindi di quell'equazione rimane $2hy_1 y_2=0$ e questo si verifica per $h=0$.

Paola