Sottospazi
Ciao
ho un problema con questo esercizio
Si considerino i sottospazi di $RR^4$
$U = L ((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7)), V = L ((1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14))$
dire se (i) $U sube V$, (ii) $V sube V$, (iii) $U = V$, (iv) nessuna delle precedenti, io ho risposto la quarta
ragionando cosi $L ((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7)) = L ((1,2, -1, 3);(0, 0, 3, -8))$
$L ((1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14)) = L ((1, 2, -4, 11);(0, 0, 4, -8))$
escludo che $U = V$ perchè ad esempio non posso ottenere $(1, 2, -1, 3)$ da $V$
quindi si esclude anche $U sube V$ e dato che non posso ottenere $(0, 0, 4, -8)$ da $U$ ecludo anche l'ultima
è giusto ?
volevo chiedervi inoltre come faccio in generale a vedere se due sottospazi sono uguali
o se uno e incluso nell'altro ?
ho un problema con questo esercizio
Si considerino i sottospazi di $RR^4$
$U = L ((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7)), V = L ((1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14))$
dire se (i) $U sube V$, (ii) $V sube V$, (iii) $U = V$, (iv) nessuna delle precedenti, io ho risposto la quarta
ragionando cosi $L ((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7)) = L ((1,2, -1, 3);(0, 0, 3, -8))$
$L ((1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14)) = L ((1, 2, -4, 11);(0, 0, 4, -8))$
escludo che $U = V$ perchè ad esempio non posso ottenere $(1, 2, -1, 3)$ da $V$
quindi si esclude anche $U sube V$ e dato che non posso ottenere $(0, 0, 4, -8)$ da $U$ ecludo anche l'ultima
è giusto ?
volevo chiedervi inoltre come faccio in generale a vedere se due sottospazi sono uguali
o se uno e incluso nell'altro ?
Risposte
Puoi trovare il sottospazio $U \cap V$. Se ti viene uguale a $U$ significa che $U$ è contenuto in $V$, se ti viene uguale a $V$ significa che $V$ è contenuto in $U$, se non ti viene né $U$ né $V$ significa che nessuno spazio è contenuto nell'altro.
Scusami ma non so come trovare il sottospazio $U nn V$
Ti basta scrivere el equazioni cartesiane di $U$ e $V$ e metterle a sistema.
Sono sempre più ignorante, cosa sono le equazioni cartesiane di un sottospazio ?
EDIT: Sono semplicemente le equazioni che descrivono i vettori del sottospazio ....
Non ho ancora capito
sto cercando di scrivere un sistema che abbia come insieme delle soluzioni
il sottospazio $U$ ? ma come la mettiamo con i vettori linearmente dipendenti ?
poi devo trovare $K_1, K_2, K_3$ in funzione di $x, y, z, t$ ?
Perchè altrimenti come faccio ad eliminare $K_1, K_2, K_3$ ? devo imporre anche che $y - 2x = 0$
sto cercando di scrivere un sistema che abbia come insieme delle soluzioni
il sottospazio $U$ ? ma come la mettiamo con i vettori linearmente dipendenti ?
poi devo trovare $K_1, K_2, K_3$ in funzione di $x, y, z, t$ ?
Perchè altrimenti come faccio ad eliminare $K_1, K_2, K_3$ ? devo imporre anche che $y - 2x = 0$
Scusa hai ragione, ero così concentrato sul concetto di equazione cartesiana che non mi ero neanche accorto che i tre vettori non sono linearmente indipendenti 
è che non avevo letto bene l'esercizio... scusa ancora
è che non avevo letto bene l'esercizio... scusa ancora
Grazie lo stesso Amel, non preoccuparti
però io credevo di aver capito di poter scrivere $U$ come sistema lineare
omogeneo di cui l'insieme delle soluzioni non fosse altro che $U$, prendendo spunto da ciò
che avevi scritto ho cercato di risolvere ${(k_1 = x), (2k_1 = y), (-k_1 + 3k_2 = z), (3k_1 - 8k_2 = t):}$ e ho visto che
perchè il sistema sia compatibile $y - 2x = 0$ e $t - 3x + 8/3z + 8/3x = 0$ da cui ottengo $y = 2x$ e $t = 1/3(x - 8z)$
adesso non è che sono queste le equazioni parametriche del sottospazio $U$ ?
però cosi cade quello che avevo capito dal tuo post precedente e poi
a parte quello detto da Tipper a cosa mi servono le equazioni parametriche e un sottospazio quante equazioni ha ?
Comunque il mio modo di ragionare prima di conoscere le equazioni parametriche era sbagliato ?
cioè l'esercizio come l'ho risolto sopra è sbagliato ?
però io credevo di aver capito di poter scrivere $U$ come sistema lineare
omogeneo di cui l'insieme delle soluzioni non fosse altro che $U$, prendendo spunto da ciò
che avevi scritto ho cercato di risolvere ${(k_1 = x), (2k_1 = y), (-k_1 + 3k_2 = z), (3k_1 - 8k_2 = t):}$ e ho visto che
perchè il sistema sia compatibile $y - 2x = 0$ e $t - 3x + 8/3z + 8/3x = 0$ da cui ottengo $y = 2x$ e $t = 1/3(x - 8z)$
adesso non è che sono queste le equazioni parametriche del sottospazio $U$ ?
però cosi cade quello che avevo capito dal tuo post precedente e poi
a parte quello detto da Tipper a cosa mi servono le equazioni parametriche e un sottospazio quante equazioni ha ?
Comunque il mio modo di ragionare prima di conoscere le equazioni parametriche era sbagliato ?
cioè l'esercizio come l'ho risolto sopra è sbagliato ?
"n.icola":
$y = 2x$ e $t = 1/3(x - 8z)$
adesso non è che sono queste le equazioni parametriche del sottospazio $U$ ?
Ok, queste sono proprio le equazioni cartesiane
"n.icola":
${(k_1 = x), (2k_1 = y), (-k_1 + 3k_2 = z), (3k_1 - 8k_2 = t):}$
e queste sono equazioni parametriche (che dipendono da parametri)
"n.icola":
$L ((1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14)) = L ((1, 2, -4, 11);(0, 0, 4, -8))$
$L ((1, 2, -4, 11);(0, 0, 4, -8))$ non sarebbe invece $L ((1, 2, -4, 11);(0, 0, 8, -8))$, intanto?
Hai ragione amel, ho sbagliato
e prima per parametriche volevo dire invece cartesiane
comunque mi sono calcolato le equazioni cartesiane di $V$ ho messo tutto a sistema e ho risolto
viene un sistema con $oo^1$ soluzioni dato che sia $U$ che $V$ hanno dimensione 2 nessuno di loro è incluso nell'altro
dunque la risposta è nessuna delle precedenti, avevo fatto giusto ma almeno ho imparato qualcosa di nuovo, grazie di tutto
e prima per parametriche volevo dire invece cartesiane
comunque mi sono calcolato le equazioni cartesiane di $V$ ho messo tutto a sistema e ho risolto
viene un sistema con $oo^1$ soluzioni dato che sia $U$ che $V$ hanno dimensione 2 nessuno di loro è incluso nell'altro
dunque la risposta è nessuna delle precedenti, avevo fatto giusto ma almeno ho imparato qualcosa di nuovo, grazie di tutto
Per la somma invece
$U + V = L((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7);(1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14))$ e poi elimino quelli in più, giusto ?
$U + V = L((1, 2, -1, 3);(2, 4, 1, -2);(3, 6, 3, -7);(1, 2, -4, 11);(2, 4, 0, 14))$ e poi elimino quelli in più, giusto ?
Giusto, ma potevi ormai già che c'eri prendere $L ((1,2, -1, 3);(0, 0, 3, -8); (1, 2, -4, 11);(0, 0, 4, -8))$.
N.B. Ricorda che il sottospazio somma di due sottospazi è il più piccolo possibile contenente i due
N.B. Ricorda che il sottospazio somma di due sottospazi è il più piccolo possibile contenente i due
Grazie Amel,
quei vettori li avevo presi come esempio
mi è chiaro che cosi facendo avrei fatto un lavoro inutile
quei vettori li avevo presi come esempio
mi è chiaro che cosi facendo avrei fatto un lavoro inutile
Ciao
ho quest'altro esercizio
in $RR^4$ ho i seguenti sottospazi
$U = {(x, y, z, t) in RR^4 : x - 2z = y = 0}$
$V = L((0, 2, 1, -1);(1, -2, 1, 1);(1, 2, 3, -1);(1, 2, 7, 1))$
trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$
non capisco l'ultima parte,
io trovo una base $((2, 0, 1, 0);(0, 0, 0, 1))$ per $U$ e una base $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1))$ per $V$
adesso $U + V = RR^4$ ? se è cosi prendo quelli indipendenti $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1); (0, 0, 0, 1))$
però non so
ho quest'altro esercizio
in $RR^4$ ho i seguenti sottospazi
$U = {(x, y, z, t) in RR^4 : x - 2z = y = 0}$
$V = L((0, 2, 1, -1);(1, -2, 1, 1);(1, 2, 3, -1);(1, 2, 7, 1))$
trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$
non capisco l'ultima parte,
io trovo una base $((2, 0, 1, 0);(0, 0, 0, 1))$ per $U$ e una base $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1))$ per $V$
adesso $U + V = RR^4$ ? se è cosi prendo quelli indipendenti $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1); (0, 0, 0, 1))$
però non so
Ciao,
scusate se rompo ancora con questo esercizio ma purtroppo non mi è ancora chiaro
precisamente che cosa vuol dire esattamente questa frase
"trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$ " ?
perchè a questo punto se sommandoli ottengo $RR^4$ una sua qualunque base potrebbe andare bene, no ?
scusate se rompo ancora con questo esercizio ma purtroppo non mi è ancora chiaro
precisamente che cosa vuol dire esattamente questa frase
"trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$ " ?
perchè a questo punto se sommandoli ottengo $RR^4$ una sua qualunque base potrebbe andare bene, no ?
"n.icola":
Ciao
ho quest'altro esercizio
in $RR^4$ ho i seguenti sottospazi
$U = {(x, y, z, t) in RR^4 : x - 2z = y = 0}$
$V = L((0, 2, 1, -1);(1, -2, 1, 1);(1, 2, 3, -1);(1, 2, 7, 1))$
trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$
non capisco l'ultima parte,
io trovo una base $((2, 0, 1, 0);(0, 0, 0, 1))$ per $U$ e una base $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1))$ per $V$
adesso $U + V = RR^4$ ? se è cosi prendo quelli indipendenti $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1); (0, 0, 0, 1))$
però non so
"n.icola":
Ciao,
scusate se rompo ancora con questo esercizio ma purtroppo non mi è ancora chiaro
precisamente che cosa vuol dire esattamente questa frase
"trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$ " ?
perchè a questo punto se sommandoli ottengo $RR^4$ una sua qualunque base potrebbe andare bene, no ?
Un esercizio del genere si puo' risolvere nel modo seguente:
1) si trova una base $B$ di $U \cap V$;
2) si completa $B$ in una base $B_U$ di $U$;
3) si completa $B$ in una base $B_V$ di $V$;
4) si completa $B_U \cup (B_V \\ B)$ in una base dell'intero spazio
"Sandokan":
[quote="n.icola"]Ciao
ho quest'altro esercizio
in $RR^4$ ho i seguenti sottospazi
$U = {(x, y, z, t) in RR^4 : x - 2z = y = 0}$
$V = L((0, 2, 1, -1);(1, -2, 1, 1);(1, 2, 3, -1);(1, 2, 7, 1))$
trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$
non capisco l'ultima parte,
io trovo una base $((2, 0, 1, 0);(0, 0, 0, 1))$ per $U$ e una base $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1))$ per $V$
adesso $U + V = RR^4$ ? se è cosi prendo quelli indipendenti $((1, 2, 7, 1); (0, 2, 3, 0); (0, 0, -2, -1); (0, 0, 0, 1))$
però non so
"n.icola":
Ciao,
scusate se rompo ancora con questo esercizio ma purtroppo non mi è ancora chiaro
precisamente che cosa vuol dire esattamente questa frase
"trovare una base di $RR^4$ che contenga sia una base di $U$ sia una di $V$ " ?
perchè a questo punto se sommandoli ottengo $RR^4$ una sua qualunque base potrebbe andare bene, no ?
Un esercizio del genere si puo' risolvere nel modo seguente:
1) si trova una base $B$ di $U \cap V$;
2) si completa $B$ in una base $B_U$ di $U$;
3) si completa $B$ in una base $B_V$ di $V$;
4) si completa $B_U \cup (B_V \\ B)$ in una base dell'intero spazio[/quote]
scusami ma non ho capito bene
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