Sottospazi
Siano $U$ e $W$ i sottospazi così definiti:
$U=L((1,0,1,0),(1,0,0,-1))$ e $W=L((0,1,0,0),(0,0,1,1))$
Dire quali dei seguenti vettori appartengono alla somma dei due sottospazi.
$(0,1,0,1)$ $(1,1,0,0)$ $(1,0,0,0)$ $(1,1,1,0)$.
$U=L((1,0,1,0),(1,0,0,-1))$ e $W=L((0,1,0,0),(0,0,1,1))$
Dire quali dei seguenti vettori appartengono alla somma dei due sottospazi.
$(0,1,0,1)$ $(1,1,0,0)$ $(1,0,0,0)$ $(1,1,1,0)$.
Risposte
Riducendo le due matrici a scala si ottiene che $U$ è generato dai vettori $(1,0,1,0)$ e $(0,0,1,1)$, mentre $W$ è generato dai vettori $(0,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$, quindi lo spazio $U+W$ è generato dai tre vettori $((1),(0),(1),(0))$, $((0),(1),(0),(0))$ e $((0),(0),(1),(1))$.
Il generico vettore si scrive come: $\alpha ((1),(0),(1),(0)) + \beta ((0),(1),(0),(0)) + \gamma ((0),(0),(1),(1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + \gamma),(\gamma)) = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
Con un po' di conti, neanche troppi, si trova l'equazione cartesiana di $U+W$: $x_3 = x_1 + x_4$.
I vettori che soddisfano questa equazione appartengono a $U+W$.
Il generico vettore si scrive come: $\alpha ((1),(0),(1),(0)) + \beta ((0),(1),(0),(0)) + \gamma ((0),(0),(1),(1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + \gamma),(\gamma)) = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
Con un po' di conti, neanche troppi, si trova l'equazione cartesiana di $U+W$: $x_3 = x_1 + x_4$.
I vettori che soddisfano questa equazione appartengono a $U+W$.
Ma non andrebbe bene anche così:
faccio la combinazione lineare di tutti e 4 i vettori dei sottospazi uguagliandola ogni volta a ciascun vettore dato dall'esercizio tra quei 4...se le soluzioni del sistema sono indipendenti allora il vettore non appartiene alla somma dei sottospazi.....viceversa se il sistema risulta dipendente...
faccio la combinazione lineare di tutti e 4 i vettori dei sottospazi uguagliandola ogni volta a ciascun vettore dato dall'esercizio tra quei 4...se le soluzioni del sistema sono indipendenti allora il vettore non appartiene alla somma dei sottospazi.....viceversa se il sistema risulta dipendente...
Più che altro, se il sistema che ottieni non ha soluzione allora il vettore dato non appartiene a $U+W$.
Cioè ad esempio così:
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(0,1,0,1)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1) =(1,0,0,0)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(1,1,1,0)$
Ovviamente verificando mettendo a sistema quale tra queste combinazioni risulta dipendente......
Secondo voi si può fare anche in questo modo??
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(0,1,0,1)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1) =(1,0,0,0)$
$a*((1,0,1,0)+b*(1,0,0,-1)+c*(0,1,0,0)+d*(0,0,1,1)=(1,1,1,0)$
Ovviamente verificando mettendo a sistema quale tra queste combinazioni risulta dipendente......
Secondo voi si può fare anche in questo modo??
Ottieni in tutto quattro sistemi, ognuno nelle incognite $a,b,c,d$. Se un sistema ha soluzione allora il vettore considerato appartiene a $U+W$, viceversa se il sistema non ha soluzione il vettore corrispondente non appartiene a $U+W$.
"Tipper":
Ottieni in tutto quattro sistemi, ognuno nelle incognite $a,b,c,d$. Se un sistema ha soluzione allora il vettore considerato appartiene a $U+W$, viceversa se il sistema non ha soluzione il vettore corrispondente non appartiene a $U+W$.
Quindi se il sistema è indipendente il vettore non appartiene a $U+W$....perchè non ammette soluzioni...giusto??
Che intendi con "il sistema è indipendente"?
Cioè sei il sistema alla fine di tutti i conti esce così ad esempio:
${(a=0),(b=0),(c=0),(d=0):}$cioè con tutte le soluzioni uguali a $0$.
${(a=0),(b=0),(c=0),(d=0):}$cioè con tutte le soluzioni uguali a $0$.
Scusa, ma se $a=b=c=d=0$, come farebbe la combinazione lineare ad essere uguale a uno di quei vettori?!?
ciao
guarda basta mettere sempicemente i vettori di u e quelli di w come righe di una matrice e vedere quali sono quelle linearmente indipendenti...
guarda basta mettere sempicemente i vettori di u e quelli di w come righe di una matrice e vedere quali sono quelle linearmente indipendenti...
"flosfloris":
ciao
guarda basta mettere sempicemente i vettori di u e quelli di w come righe di una matrice e vedere quali sono quelle linearmente indipendenti...
In questo modo però trovi solo una base di $U+W$.
Si infatti in questo modo ricavi la base del sottospazio somma....Ma si può fare in questo modo:
Per il primo vettore $(0,1,0,1)$:
${(a+b=0),(c=1),(a+d=0),(-b+d=1):}$
ho ricavato che:
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
Per il secondo vettore $(1,1,0,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
entrambi non ammettono soluzioni.
Per il terzo vettore $(1,0,0,0)$:
${(a+b=1),(c=0),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=1/2),(b=1/2),(c=0),(d=-1/2):}$
ammette soluzioni.
Per il quarto vettore $(1,1,1,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=1),(-b+d=0):}$
${(a=1-b),(c=1),(d=b):}$
non ammette soluzioni.
Dunque il vettore $(1,0,0,0)$ appartiene alla somma dei due sottospazi.
Per il primo vettore $(0,1,0,1)$:
${(a+b=0),(c=1),(a+d=0),(-b+d=1):}$
ho ricavato che:
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
Per il secondo vettore $(1,1,0,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
entrambi non ammettono soluzioni.
Per il terzo vettore $(1,0,0,0)$:
${(a+b=1),(c=0),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=1/2),(b=1/2),(c=0),(d=-1/2):}$
ammette soluzioni.
Per il quarto vettore $(1,1,1,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=1),(-b+d=0):}$
${(a=1-b),(c=1),(d=b):}$
non ammette soluzioni.
Dunque il vettore $(1,0,0,0)$ appartiene alla somma dei due sottospazi.
Se i conti che hai fatto sono giusti sì, a me però torna diversamente... può essere benissimo che abbia sbagliato io.
"Tipper":
Riducendo le due matrici a scala si ottiene che $U$ è generato dai vettori $(1,0,1,0)$ e $(0,0,1,1)$, mentre $W$ è generato dai vettori $(0,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$, quindi lo spazio $U+W$ è generato dai tre vettori $((1),(0),(1),(0))$, $((0),(1),(0),(0))$ e $((0),(0),(1),(1))$.
Il generico vettore si scrive come: $\alpha ((1),(0),(1),(0)) + \beta ((0),(1),(0),(0)) + \gamma ((0),(0),(1),(1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + \gamma),(\gamma)) = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
Con un po' di conti, neanche troppi, si trova l'equazione cartesiana di $U+W$: $x_3 = x_1 + x_4$.
I vettori che soddisfano questa equazione appartengono a $U+W$.
Si perchè il vettore che ho trovato io cioè $(1,0,0,0)$ non soddisfa l'equazione $x_3 = x_1 + x_4$ infatti sostituendo
$0=1+0$ $=>$ $0=1$ non è verificato.Cmq i conti li ho fatti bene almeno credo!!
!
Se il problema è di conti, sia che abbia sbagliato io o meno, poco male, l'importante è che tu abbia capito il concetto.
Vabbè ma in ogni caso sia il procedimento che hai fatto tu:
Sia quello che ho fatto io:
Vanno bene credo.....
Riducendo le due matrici a scala si ottiene che $U$ è generato dai vettori $(1,0,1,0)$ e $(0,0,1,1)$, mentre $W$ è generato dai vettori $(0,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$, quindi lo spazio $U+W$ è generato dai tre vettori $((1),(0),(1),(0))$, $((0),(1),(0),(0))$ e $((0),(0),(1),(1))$.
Il generico vettore si scrive come: $\alpha ((1),(0),(1),(0)) + \beta ((0),(1),(0),(0)) + \gamma ((0),(0),(1),(1)) = ((\alpha),(\beta),(\alpha + \gamma),(\gamma)) = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
Con un po' di conti, neanche troppi, si trova l'equazione cartesiana di $U+W$: $x_3 = x_1 + x_4$.
I vettori che soddisfano questa equazione appartengono a $U+W$.
Sia quello che ho fatto io:
Per il primo vettore $(0,1,0,1)$:
${(a+b=0),(c=1),(a+d=0),(-b+d=1):}$
ho ricavato che:
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
Per il secondo vettore $(1,1,0,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=-b),(d=b),(c=1),(0=1):}$
entrambi non ammettono soluzioni.
Per il terzo vettore $(1,0,0,0)$:
${(a+b=1),(c=0),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=1/2),(b=1/2),(c=0),(d=-1/2):}$
ammette soluzioni.
Per il quarto vettore $(1,1,1,0)$:
${(a+b=1),(c=1),(a+d=1),(-b+d=0):}$
${(a=1-b),(c=1),(d=b):}$
non ammette soluzioni.
Dunque il vettore $(1,0,0,0)$ appartiene alla somma dei due sottospazi.
Vanno bene credo.....
I procedimenti vanno bene, i conti no, almeno uno ha sbagliato (dico almeno ).
).
"Aristotele":
Per il terzo vettore $(1,0,0,0)$:
${(a+b=1),(c=0),(a+d=0),(-b+d=0):}$
${(a=1/2),(b=1/2),(c=0),(d=-1/2):}$
ammette soluzioni.
Questo non va bene.
Quindi è meglio fare secondo il tuo procedimento... 
sostituendo i vettori in quell'espressione cartesiana che hai ricavato tu..
sostituendo i vettori in quell'espressione cartesiana che hai ricavato tu..
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