Sottospazi

[Pivot1]

Data la matrice

$0 1$
$0 2 $ = A

I) determinare una base per il sottospazio W di R^2,2 generato da A, A^t (trasposta di A) , A + A^t

II) dimostrare che il sottoinsieme U :

$a b$
$0 2b$ tale che a,b variano in R

è un sottospazio di R^2,2 e determinarna una base.

III)Determinare poi una base dei sottospazi W + U e W intersecato U

Come si procede?

Grazie mille ciao

[Sk_Anonymous]

I)E' chiaro che ,essendo A+A^t una combinazione lineare di A e A^t ed essendo
A e A^t linear.indip., la base richiesta puo' essere proprio (A,A^t).

II) Per dimostrare l'assunto vi sono vari modi,il piu' semplice dei quali e'
verificare che:
a) U contiene la matrice nulla e per questo basta scegliere a=b=0
b)U contiene ogni combinazione lineare (a coeff.non tutti nulli)
del tipo $lambda*v+mu*w$ essendo v e w due elementi qualsiasi di U.
A tale scopo poniamo:
$v=[(a,b),(0,2b)],w=[(c,d),(0,2d)]$
Risultera':
$lambda*v+mu*w=[(lambda*a+mu*c,lambda*b+mu*d),(0,2(lambda*b+mu*d))]$
la quale matrice appartiene evidentemente ad U in quanto e' dello stesso tipo.
Per avere una base di U penso sia sufficiente scegliere due matrici di U lin.ind.
per esempio $v=[(1,1),(0,2)],w=[(-1,5),(0,10)]$
Archimede

[Sk_Anonymous]

III) Per calcolare $Wnn U$ occorre trovare gli elementi $hA+kA^t$ che stanno anche in U ovvero che sono del tipo $[(a,b),(0,2b)]$.Si trova che deve essere k=0 e h=b.Ne segue che l'intersezione cercata e' formata dalle matrici del tipo b*A ,cosa del resto ovvia dato che A appartiena anche ad U.Una base di tale intersezione e' quindi data proprio da A.
Poiche' U e' strettamente contenuto in W W+U coincide con W e la base e' naturalmente
$A+A^t$.
Archimede

[Pivot1]

Grazie Archimede. Ora provo a capirci qualcosa. Poi ti chiedo qualcosa se è il caso