Sottospazi

ROMA911
Trascrivo dagli appunti.

"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."

Sto cercando di farmene delle rappresentazioni mentali in $R^3$ tramite gli unici sottospazi di $R^3$ - rette e piani passanti per l'origine -. Però - a meno di allineamenti particolari su rette per l'origine o allineamenti di complanarità - mi viene sempre fuori che "il più piccolo" sottospazio coincide sempre con $R^3$ stesso. Qualcuno - gentilmente - potrebbe aiutarmi a capire? Grazie anticipate

Risposte
garnak.olegovitc1
@ROMA91,

"ROMA91":
Trascrivo dagli appunti.

"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."


stai usando la definizione di \(\displaystyle \operatorname{Span}(S)=\bigcap_{R \in \mathcal{F}} R \) con \( \mathcal{F}=\{X|X \text{ è sottospazio vettoriale di }V\} \)--??

Saluti

ROMA911
Grazie davvero per avermi risposto! Direi di sì - certamente il mio sì sarebbe più valido se avessi veramente capito :wink: -.
Riesci a farmi capire dove mi blocco e perché le rappresentazioni mentali di sottospazi in $R^3$ che mi sforzo di
rappresentarmi per riuscire a capire non mi aiutano. Che cosa davvero significano tutte queste intersezioni? Grazie ancora

vict85
Non pensare al concetto di intersezione in sé, pensa in termini di essenzialità. Quello che stai dicendo è che \(L(S)\) è l'insieme di tutti quei vettori che non possono fare a meno di stare dentro un sottospazio che contiene \(S\).

ROMA911
Grazie mille! La tua risposta è chiara. Ancora due domande, se posso. Quindi - almeno pensando a $R^3$ - è vero quanto mi dice l'intuizione geometrica, cioè che - a meno di ipotizzare insiemi $S$ abbastanza particolari - in genere $L(S)$ coincide con $R^3$ stesso? Non necessariamente in altri tipi di spazi vettoriali. Dove mi porta e per che cosa mi risulta utile la definizione di $L(S)$? Grazie di nuovo

vict85
In genere direi di no, incontrerai spesso sottospazi. D'altra parte rette e piani sono sottospazi affini di \(\mathbb{R}^3\) (se passano per zero sono anche vettoriali). Comunque ti invito a proseguire la teoria.

ROMA911
Grazie per le risposte e la tempestività!

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