Sottospazi
Trascrivo dagli appunti.
"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."
Sto cercando di farmene delle rappresentazioni mentali in $R^3$ tramite gli unici sottospazi di $R^3$ - rette e piani passanti per l'origine -. Però - a meno di allineamenti particolari su rette per l'origine o allineamenti di complanarità - mi viene sempre fuori che "il più piccolo" sottospazio coincide sempre con $R^3$ stesso. Qualcuno - gentilmente - potrebbe aiutarmi a capire? Grazie anticipate
"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."
Sto cercando di farmene delle rappresentazioni mentali in $R^3$ tramite gli unici sottospazi di $R^3$ - rette e piani passanti per l'origine -. Però - a meno di allineamenti particolari su rette per l'origine o allineamenti di complanarità - mi viene sempre fuori che "il più piccolo" sottospazio coincide sempre con $R^3$ stesso. Qualcuno - gentilmente - potrebbe aiutarmi a capire? Grazie anticipate
Risposte
@ROMA91,
stai usando la definizione di \(\displaystyle \operatorname{Span}(S)=\bigcap_{R \in \mathcal{F}} R \) con \( \mathcal{F}=\{X|X \text{ è sottospazio vettoriale di }V\} \)--??
Saluti
"ROMA91":
Trascrivo dagli appunti.
"Sia $S$ un sottinsieme di $V$. Diremo sottospazio generato da $S$ il sottospazio intersezione di tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$. Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato da $S$. Risulta evidente che $L(S)$ è "il più piccolo" sottospazio di $V$ che contiene $S$."
stai usando la definizione di \(\displaystyle \operatorname{Span}(S)=\bigcap_{R \in \mathcal{F}} R \) con \( \mathcal{F}=\{X|X \text{ è sottospazio vettoriale di }V\} \)--??
Saluti
Grazie davvero per avermi risposto! Direi di sì - certamente il mio sì sarebbe più valido se avessi veramente capito
-.
Riesci a farmi capire dove mi blocco e perché le rappresentazioni mentali di sottospazi in $R^3$ che mi sforzo di
rappresentarmi per riuscire a capire non mi aiutano. Che cosa davvero significano tutte queste intersezioni? Grazie ancora

Riesci a farmi capire dove mi blocco e perché le rappresentazioni mentali di sottospazi in $R^3$ che mi sforzo di
rappresentarmi per riuscire a capire non mi aiutano. Che cosa davvero significano tutte queste intersezioni? Grazie ancora
Non pensare al concetto di intersezione in sé, pensa in termini di essenzialità. Quello che stai dicendo è che \(L(S)\) è l'insieme di tutti quei vettori che non possono fare a meno di stare dentro un sottospazio che contiene \(S\).
Grazie mille! La tua risposta è chiara. Ancora due domande, se posso. Quindi - almeno pensando a $R^3$ - è vero quanto mi dice l'intuizione geometrica, cioè che - a meno di ipotizzare insiemi $S$ abbastanza particolari - in genere $L(S)$ coincide con $R^3$ stesso? Non necessariamente in altri tipi di spazi vettoriali. Dove mi porta e per che cosa mi risulta utile la definizione di $L(S)$? Grazie di nuovo
In genere direi di no, incontrerai spesso sottospazi. D'altra parte rette e piani sono sottospazi affini di \(\mathbb{R}^3\) (se passano per zero sono anche vettoriali). Comunque ti invito a proseguire la teoria.
Grazie per le risposte e la tempestività!