Sottoinsiemi aperti rispetto a una metrica
Ciao!
Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere questo esercizio:
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti con la topologia euclidea su $RR^2$ rispetto alla distanza euclidea:
$A= {(x_1, x_2) : x_1 = x_2}$
$B= {(x_1,x_2) : x_1 x_2!=0}$
$C={(x_1,x_2) : x_1 > 0}$
$D= {(x_1,x_2) : x_2 <=0}$
Prima domanda (imbarazzante): come ricavo gli aperti della topologia euclidea in $RR^2$? Non riesco a capire che forma potrebbero avere...
Poi, una volta ricavati quelli come procedo esattamente?
Io avevo pensato di fare così: valutare la forma degli insiemi dati e cercare di capire se sono possono essere scritti come unione di aperti euclidei.
Quindi:
A) Se $x_1=x_2$, gli elementi di A sono punti.
B) Sono tutti gli aperti della forma (a,b) con $a!=0 ^^ b!= 0$
C) Sono tutti gli aperti $(a,b)$ tali che a>0 (quindi presumo anche b>0)
D) Tuttti gli aperti $(a,b)$ con $b<=0$
E ora? Come procedo?
Grazie per l'aiuto...
Buona giornata
Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere questo esercizio:
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti con la topologia euclidea su $RR^2$ rispetto alla distanza euclidea:
$A= {(x_1, x_2) : x_1 = x_2}$
$B= {(x_1,x_2) : x_1 x_2!=0}$
$C={(x_1,x_2) : x_1 > 0}$
$D= {(x_1,x_2) : x_2 <=0}$
Prima domanda (imbarazzante): come ricavo gli aperti della topologia euclidea in $RR^2$? Non riesco a capire che forma potrebbero avere...
Poi, una volta ricavati quelli come procedo esattamente?
Io avevo pensato di fare così: valutare la forma degli insiemi dati e cercare di capire se sono possono essere scritti come unione di aperti euclidei.
Quindi:
A) Se $x_1=x_2$, gli elementi di A sono punti.
B) Sono tutti gli aperti della forma (a,b) con $a!=0 ^^ b!= 0$
C) Sono tutti gli aperti $(a,b)$ tali che a>0 (quindi presumo anche b>0)
D) Tuttti gli aperti $(a,b)$ con $b<=0$
E ora? Come procedo?
Grazie per l'aiuto...
Buona giornata
Risposte
Alla domanda imbarazzante la risposta si dà subito: boh? 
Tornando seri, non è l'approccio corretto. Gli aperti della topologia euclidea, come in generale per ogni topologia che abbia un minimo di interesse, sono "tantissimi" e non puoi pensare di averli sotto controllo tutti. Si va dal tranquillo disco aperto di centro $(0,0)$ e raggio $1$ all'infernale sottoinsieme dei "razionali ingrassati", che è un aperto denso nel quadrato unitario ma avente area strettamente minore di $1$. Un insieme del genere non è cosa che puoi sperare di disegnare né di tenere sotto controllo con un paio di equazioni.
Invece, ricordati la definizione di "aperto" nel piano euclideo. Un insieme è aperto se, comunque tu prenda un suo punto, esiste un disco che contiene il punto ed è contenuto nell'insieme. Con questo provi velocemente che $A$ e anche $D$ non sono aperti.
Per gli altri hai davanti varie strade. Una è questa di verificare l'esistenza di un dischetto per ogni punto. Oppure, ed è quella per me più veloce, puoi usare la continuità. Ricordati che una applicazione tra spazi topologici è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto è un aperto. $B, C$ sono delle controimmagini, quindi questa osservazione ti può tornare utile.
[edit]Aggiunto richiamo alla misura dell'insieme dei razionali ingrassati.
Tornando seri, non è l'approccio corretto. Gli aperti della topologia euclidea, come in generale per ogni topologia che abbia un minimo di interesse, sono "tantissimi" e non puoi pensare di averli sotto controllo tutti. Si va dal tranquillo disco aperto di centro $(0,0)$ e raggio $1$ all'infernale sottoinsieme dei "razionali ingrassati", che è un aperto denso nel quadrato unitario ma avente area strettamente minore di $1$. Un insieme del genere non è cosa che puoi sperare di disegnare né di tenere sotto controllo con un paio di equazioni.
Invece, ricordati la definizione di "aperto" nel piano euclideo. Un insieme è aperto se, comunque tu prenda un suo punto, esiste un disco che contiene il punto ed è contenuto nell'insieme. Con questo provi velocemente che $A$ e anche $D$ non sono aperti.
Per gli altri hai davanti varie strade. Una è questa di verificare l'esistenza di un dischetto per ogni punto. Oppure, ed è quella per me più veloce, puoi usare la continuità. Ricordati che una applicazione tra spazi topologici è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto è un aperto. $B, C$ sono delle controimmagini, quindi questa osservazione ti può tornare utile.
[edit]Aggiunto richiamo alla misura dell'insieme dei razionali ingrassati.
Ok, forse comincio a capire...
A è un insieme di punti, giusto?
Quindi è chiaro che, dato un punto $a in A$, se prendo $epsilon$ compresa tra $0$ e la distanza tra a e i punti a lui più vicini (la distanza euclidea?), l'intorno di centro a e raggio epsilon non contiene altri punti di A diversi da a e non è tutto contenuto in A.
Ma si può scrivere in modo più formale? Cioè, detto così non mi sembra granchè rigoroso...
Provo ad azzardare la spiegazione per D: Applico la definizione data all caso limite $(x_1, 0)$ (o devo scrivere $(x_1, 0]$?).
In questo caso, se non ricordo male le definizioni, il punto è proprio $(x_1, 0)$, giusto?
Non esiste un disco completamente contenuto in D che contenga (strettamente, perchè il raggio $epsilon$ deve essere strettamente maggiore di 0) il punto. Il disco infatti, avente forma $(x_1 ',x_2)$ avrà necessariamente $x_2 > 0$ e non soddisfa la condizione di appartenenza a D.
Quanto a B e C...non mandarmi al diavolo eh..ma il primo metodo che mi hai suggerito non l'ho propio capito (come faccio a verificare l'esistenza di un disco per ogni punto??? Sono infiniti!!).
E anche il secondo mi lascia perplessa..Non capisco in che modo usare la continuità. Dovrei trovare un'applicazione continua definita da B e C a dove esattamente'? E in che modo entra in gioco la metrica euclidea?
Scusami, sono un disastro...
Grazie per l'aiuto e buon appetito (visto che ormai è ora di pranzo!!)
[edit] Mi sono accorta di un'imprecisione nella "domanda imbarazzante" del primo post: la domanda era come si trovano gli aperti della metrica euclidea e non della topologia euclidea...
A è un insieme di punti, giusto?
Quindi è chiaro che, dato un punto $a in A$, se prendo $epsilon$ compresa tra $0$ e la distanza tra a e i punti a lui più vicini (la distanza euclidea?), l'intorno di centro a e raggio epsilon non contiene altri punti di A diversi da a e non è tutto contenuto in A.
Ma si può scrivere in modo più formale? Cioè, detto così non mi sembra granchè rigoroso...
Provo ad azzardare la spiegazione per D: Applico la definizione data all caso limite $(x_1, 0)$ (o devo scrivere $(x_1, 0]$?).
In questo caso, se non ricordo male le definizioni, il punto è proprio $(x_1, 0)$, giusto?
Non esiste un disco completamente contenuto in D che contenga (strettamente, perchè il raggio $epsilon$ deve essere strettamente maggiore di 0) il punto. Il disco infatti, avente forma $(x_1 ',x_2)$ avrà necessariamente $x_2 > 0$ e non soddisfa la condizione di appartenenza a D.
Quanto a B e C...non mandarmi al diavolo eh..ma il primo metodo che mi hai suggerito non l'ho propio capito (come faccio a verificare l'esistenza di un disco per ogni punto??? Sono infiniti!!).
E anche il secondo mi lascia perplessa..Non capisco in che modo usare la continuità. Dovrei trovare un'applicazione continua definita da B e C a dove esattamente'? E in che modo entra in gioco la metrica euclidea?
Scusami, sono un disastro...
Grazie per l'aiuto e buon appetito (visto che ormai è ora di pranzo!!)
[edit] Mi sono accorta di un'imprecisione nella "domanda imbarazzante" del primo post: la domanda era come si trovano gli aperti della metrica euclidea e non della topologia euclidea...
Hai provato a disegnare gli insiemi $A, B, C, D$? Diventa tutto più facile. Per esempio prendiamo $A$. Si tratta di una retta, per la precisione questa:
[asvg]axes(); plot("x");[/asvg]
Per essere aperto un insieme deve verificare la condizione con i dischi che dicevo sopra: in particolare, per ogni punto della retta dovrebbe esistere un dischetto centrato nel punto e tutto contenuto nella retta. Ma mi sa tanto che nessun punto della retta ha questa proprietà. Ad esempio, il punto $(0, 0)$ appartiene alla retta ma comunque tu prenda un dischetto di centro $(0,0)$ questo contiene punti non appartenenti alla retta. Infatti, se il raggio del dischetto è $epsilon$, il punto $(epsilon/2, 0)$ è nel dischetto ma non nella retta.
Già questo basta a mostrare che la retta non è un aperto. Prova a rifare il ragionamento con l'insieme $D$. Ricordati di fare un disegno.
P.S.: La domanda imbarazzante puoi formularla in entrambi i modi, sono equivalenti.
[asvg]axes(); plot("x");[/asvg]
Per essere aperto un insieme deve verificare la condizione con i dischi che dicevo sopra: in particolare, per ogni punto della retta dovrebbe esistere un dischetto centrato nel punto e tutto contenuto nella retta. Ma mi sa tanto che nessun punto della retta ha questa proprietà. Ad esempio, il punto $(0, 0)$ appartiene alla retta ma comunque tu prenda un dischetto di centro $(0,0)$ questo contiene punti non appartenenti alla retta. Infatti, se il raggio del dischetto è $epsilon$, il punto $(epsilon/2, 0)$ è nel dischetto ma non nella retta.
Già questo basta a mostrare che la retta non è un aperto. Prova a rifare il ragionamento con l'insieme $D$. Ricordati di fare un disegno.
P.S.: La domanda imbarazzante puoi formularla in entrambi i modi, sono equivalenti.
Ah, scusa, non avevo letto con attenzione il tuo post e vedo che non ho risposto alla tua domanda. Infatti vedo che per $A, D$ avevi capito come procedere, il problema sono gli altri due.
Questo è chiaro da un disegnino, comunque se tu lo volessi dimostrare rigorosamente la maniera più veloce è secondo me quella di includerlo in un quadrato $Q={(x, y)\ |\ x\in]x_0-(x_0)/2, x_0+(x_0)/2[, y\in]y_0-(x_0)/2, y_0+(x_0)/2[}$ . Il disco è chiaramente incluso nel quadrato e il quadrato è chiaramente incluso in $C$, ergo anche il disco è incluso in $C$ e abbiamo finito: $C$ è aperto.
L'altro metodo è molto semplice. Prendi l'applicazione $f(x_1, x_2)=x_1$. Mi pare proprio che sia continua. Chi è $f^{-1}(0, +\infty)$?
Quanto a B e C...non mandarmi al diavolo eh..ma il primo metodo che mi hai suggerito non l'ho propio capito (come faccio a verificare l'esistenza di un disco per ogni punto??? Sono infiniti!!).Si, però puoi uscirtene lo stesso. Prendiamo $C={(x_1, x_2)\ :\ x_1>0}$. Si tratta del semipiano costituito dal primo e dal quarto quadrante, escludendo l'asse delle $y$. Prendiamo un punto $(x_0, y_0)\in C$. Allora $x_0>0$, quindi anche $(x_0)/2>0$. Che ne dici di considerare il disco di centro $(x_0, y_0)$ e raggio $((x_0)/2)$? Esso è contenuto in $C$.
Questo è chiaro da un disegnino, comunque se tu lo volessi dimostrare rigorosamente la maniera più veloce è secondo me quella di includerlo in un quadrato $Q={(x, y)\ |\ x\in]x_0-(x_0)/2, x_0+(x_0)/2[, y\in]y_0-(x_0)/2, y_0+(x_0)/2[}$ . Il disco è chiaramente incluso nel quadrato e il quadrato è chiaramente incluso in $C$, ergo anche il disco è incluso in $C$ e abbiamo finito: $C$ è aperto.
L'altro metodo è molto semplice. Prendi l'applicazione $f(x_1, x_2)=x_1$. Mi pare proprio che sia continua. Chi è $f^{-1}(0, +\infty)$?
"dissonance":
L'altro metodo è molto semplice. Prendi l'applicazione $f(x_1, x_2)=x_1$. Mi pare proprio che sia continua. Chi è $f^{-1}(0, +\infty)$?
Prima mi dedico al secondo metodo (quello che preferisci anche tu), poi mi butterò sull'altro - che rimane comunque di scorta nei casi disperati
.Dunque, ora magari sparo una scemata...ma a occhio la funzione che mi suggerisci tu è del tipo $f : X x X rarr X$ dove $X=(0, +oo)$ cioè il dominio di $x_1, x_2$
Quindi
$f^(-1) (0, +oo) = (0, +oo) (0, +oo)$ (Ci vorrebbe una parentesi tonda, ma se la metto diventa una matrice...) E ora? Come dimostro che questa cosa è un aperto (sempre che lo sia)?
Ma poi...ho capito giuto, o ho preso un granchio colossale?
Ma come faccio a imparare?? Non ci capisco niente
Grazie e scusami
No aspetta vai con ordine. Hai l'applicazione $f:RR\timesRR\toRR,\ f(x_1, x_2)=x_1$. Intanto dovresti osservare che essa è continua, se non è troppo disturbo ( ). In topologia di una applicazione non continua non te ne fai nulla. Per fortuna mostrare che questa applicazione è continua è una banalità, chissà quante volte lo avrai fatto nei corsi di analisi (ebbene sì, la continuità dell'analisi e quella della topologia generale sono la stessa cosa!). Ma se hai dubbi su questo ne riparliamo. Veniamo ora al calcolo della controimmagine.
$f^{-1}(0, +infty)$ è per definizione l'insieme ${(x_1, x_2)\ :\ f(x_1, x_2)\in(0, +\infty)}$. Oppure più esplicitamente ${(x_1, x_2)\ :\ x_1\in(0, +\infty)}$. O anche ${(x_1, x_2)\ :\ x_1>0}$. Guarda chi si vede!
Allora, cosa si può concludere? Ricordiamo che nello spazio topologico $RR$ gli intervalli aperti sono, appunto, degli aperti.
). In topologia di una applicazione non continua non te ne fai nulla. Per fortuna mostrare che questa applicazione è continua è una banalità, chissà quante volte lo avrai fatto nei corsi di analisi (ebbene sì, la continuità dell'analisi e quella della topologia generale sono la stessa cosa!). Ma se hai dubbi su questo ne riparliamo. Veniamo ora al calcolo della controimmagine. $f^{-1}(0, +infty)$ è per definizione l'insieme ${(x_1, x_2)\ :\ f(x_1, x_2)\in(0, +\infty)}$. Oppure più esplicitamente ${(x_1, x_2)\ :\ x_1\in(0, +\infty)}$. O anche ${(x_1, x_2)\ :\ x_1>0}$. Guarda chi si vede!
Allora, cosa si può concludere? Ricordiamo che nello spazio topologico $RR$ gli intervalli aperti sono, appunto, degli aperti.
"dissonance":
No aspetta vai con ordine. Hai l'applicazione $f:RR\timesRR\toRR,\ f(x_1, x_2)=x_1$. Intanto dovresti osservare che essa è continua, se non è troppo disturbo (
$f^{-1}(0, +infty)$ è per definizione l'insieme ${(x_1, x_2)\ :\ f(x_1, x_2)\in(0, +\infty)}$. Oppure più esplicitamente ${(x_1, x_2)\ :\ x_1\in(0, +\infty)}$. O anche ${(x_1, x_2)\ :\ x_1>0}$. Guarda chi si vede!
Allora, cosa si può concludere? Ricordiamo che nello spazio topologico $RR$ gli intervalli aperti sono, appunto, degli aperti.
Ok, con ordine.
Continuità (va bene se uso i limiti? O devo usare la definizione epsilon-delta?)+
$ f: RR x RR rarr RR$ si dice continua nell'insieme $RR x RR$ se è continua in ogni $x in RR x RR$.
In particolare, provo la continuità nel punto $x_0 in RR x RR$ (punto isolato o di accumulazione dell'insieme): f è continua se
$\lim_{(x_1, x_2) rarr (x_01, x_02)} f(x_1, x_2) = f(x_01, x_02)$
$\lim_{(x_1, x_2) rarr (x_01, x_02)} f(x_1, x_2) = \lim_{(x_1, x_2) rarr (x_01, x_02)} x_1 = x_01$ e $f(x_01, x_02) = x_02$. (mi scuso per la notazione, fa un po' schifo in effetti
)I due valori coincidono, perciò la funzione è continua.
$f^{-1}(0, +infty)= {(x_1, x_2) : x_1 > 0}$ (però mi sa che non ci sarei mai arrivata); f è continua, perciò la controiimagine di aperti è aperta.
L'aperto che interessa a noi è $(0, +oo)$ (aperto in $RRx RR$ con la topologia euclidea) perciò la sua controimmagine è aperta.
Quindi, tirando le fila del discorso...C è aperto in $RR^2$
Mi rimangono 2 dubbi:
1_ Come entra in gioco in tutto ciò la metrica euclidea? Non l'ho mai usata...
2_ In generale come trovo una funzione continua che faccia al caso mio? In questo caso era una funzione piuttosto semplice da utilizzare; ma in altri casi?
Io ho fatto già fatica a capire questa, figuriamoci se ne so invetare io una...mi sta venendo il dubbio che la matematica non faccia per me
In ogni caso grazie dell'aiuto, sei stato davvero gentile e paziente (e soprattutto chiaro)
Ora provo ad applicare lo stesso metodo anche all'ultimo insieme rimasto, B. Più tardi provo a postare i risultati.
Buona giornata
Ti rispondo al volo, poi se necessario rivediamo con più calma.
1) La metrica euclidea l'hai usata implicitamente quando hai dimostrato che $f(x_1, x_2)=x_1$ è continua (a proposito, la tua dimostrazione va bene; con $epsilon-delta$ sarebbe andata bene lo stesso). Quando in analisi hai studiato le funzioni $RR^n\toRR^m$, hai sempre usato la metrica euclidea.
2) Spessissimo la funzione da usare è semplice. Per esempio, senza nessuno sforzo ulteriore, puoi dimostrare che tutti gli insiemi della forma
${(x, y)\ :\ P(x, y)>0}$ dove $P(x, y)$ è un polinomio di due variabili, sono aperti. In questa classe rientrano tutti gli insiemi del piano il cui bordo è una conica: cerchi, ellissi, settori di iperbole, strisce... Se ti ricordi questa tecnica saprai dire ad occhi chiusi quando sono aperti.
A naso, quando vedi un insieme definito da una o più disuguaglianze $<$ o $>$, quello sarà "sempre" aperto. Se invece le disuguaglianze sono $>=$ o $<=$, sarà "sempre" chiuso. Se ci sono disuguaglianze di entrambe le razze, non sarà né aperto né chiuso.
1) La metrica euclidea l'hai usata implicitamente quando hai dimostrato che $f(x_1, x_2)=x_1$ è continua (a proposito, la tua dimostrazione va bene; con $epsilon-delta$ sarebbe andata bene lo stesso). Quando in analisi hai studiato le funzioni $RR^n\toRR^m$, hai sempre usato la metrica euclidea.
2) Spessissimo la funzione da usare è semplice. Per esempio, senza nessuno sforzo ulteriore, puoi dimostrare che tutti gli insiemi della forma
${(x, y)\ :\ P(x, y)>0}$ dove $P(x, y)$ è un polinomio di due variabili, sono aperti. In questa classe rientrano tutti gli insiemi del piano il cui bordo è una conica: cerchi, ellissi, settori di iperbole, strisce... Se ti ricordi questa tecnica saprai dire ad occhi chiusi quando sono aperti.
A naso, quando vedi un insieme definito da una o più disuguaglianze $<$ o $>$, quello sarà "sempre" aperto. Se invece le disuguaglianze sono $>=$ o $<=$, sarà "sempre" chiuso. Se ci sono disuguaglianze di entrambe le razze, non sarà né aperto né chiuso.
Ciao.
Senti...provo a postare quello che ho pensato a proposito di B.
$B = {(x_1, x_2) : x_1 x_2 !=0} = {(x_1, x_2): x_1 !=0} nn {(x_1, x_2) : x_2 != 0}$
Ora, sul primo dei due insiemi, considero la funzione continua $f: RRxRR rarr RR$, $f(x_1, x_2) =x_1$, o meglio considero le controimmagini rispettivamente di $(-oo, 0)$ e $(0, +oo)$, e ottengo che
$f^{-1} ( -oo, 0)= {(x_1, x_2): x_1 < 0}$
$f^{-1}(0, +oo) = {(x_1, x_2): x_1 > 0 }$
Questi due insiemi sono aperti; la loro unione è ${(x_1, x_2): x_1 !=0}$, aperto in quanto unione di aperti.
Analogamente per il secondo insieme considero la funzione $g: RR x RR rarr RR$, $g(x_1, x_2) = x_2$ e ottengo un analogo risultato sul secondo insieme.
B è intersezione di due aperti ed è perciò aperto.
Tanto incasinato??
Ciao!!
PS (ti sto logorando, vero??)
[edit] Una x era diventata z...i misteri dell'alfabeto
Senti...provo a postare quello che ho pensato a proposito di B.
$B = {(x_1, x_2) : x_1 x_2 !=0} = {(x_1, x_2): x_1 !=0} nn {(x_1, x_2) : x_2 != 0}$
Ora, sul primo dei due insiemi, considero la funzione continua $f: RRxRR rarr RR$, $f(x_1, x_2) =x_1$, o meglio considero le controimmagini rispettivamente di $(-oo, 0)$ e $(0, +oo)$, e ottengo che
$f^{-1} ( -oo, 0)= {(x_1, x_2): x_1 < 0}$
$f^{-1}(0, +oo) = {(x_1, x_2): x_1 > 0 }$
Questi due insiemi sono aperti; la loro unione è ${(x_1, x_2): x_1 !=0}$, aperto in quanto unione di aperti.
Analogamente per il secondo insieme considero la funzione $g: RR x RR rarr RR$, $g(x_1, x_2) = x_2$ e ottengo un analogo risultato sul secondo insieme.
B è intersezione di due aperti ed è perciò aperto.
Tanto incasinato??
Ciao!!
PS (ti sto logorando, vero??)
[edit] Una x era diventata z...i misteri dell'alfabeto
Esatto! Benissimo.
Una maniera alternativa: definisci $f(x, y)=xy$; questa funzione $RR^2\toRR$, essendo polinomiale, è continua rispetto alle topologie euclidee. L'insieme $B$ è uguale a $f^{-1}[RR\setminus{0}]$ e $RR\setminus{0}$ è aperto in $RR$ perché unione dei due aperti $(-\infty, 0)uu(0, +\infty)$.
Anche la strada che hai seguito tu va bene, comunque.
P.S.: No, non mi stai logorando affatto. Anzi mi fa piacere vedere che stai afferrando questi concetti.
Una maniera alternativa: definisci $f(x, y)=xy$; questa funzione $RR^2\toRR$, essendo polinomiale, è continua rispetto alle topologie euclidee. L'insieme $B$ è uguale a $f^{-1}[RR\setminus{0}]$ e $RR\setminus{0}$ è aperto in $RR$ perché unione dei due aperti $(-\infty, 0)uu(0, +\infty)$.
Anche la strada che hai seguito tu va bene, comunque.
P.S.: No, non mi stai logorando affatto. Anzi mi fa piacere vedere che stai afferrando questi concetti.
Eh, ora ricomincio un po' a stressarti con delle domande in tema
Mi sembra di capire...però ho provato a fare un esercizio simile (ma in $RR^3$) e sono un po' bloccata.
Posto l'esercizio (non devo aprire un nuovo topic, vero?)
Il testo è sempre il medesimo: Dire quanti dei seguenti sottoinsiemi di $RR^3$ sono aperti rispetto alla metrica euclidea:
$A = {x in RR^3 : ||x|| > 2}$
$B = {(x_1, x_2, x_3) : x_1 ^2 + x_2 ^2 < 1}$
$C= {(x_1, x_2, x_3) : x_3 = 1}$
$D = RR^2 x QQ = {(x_1, x_2, x_3) : x_3 in QQ}$
Dunque. Per ora sono riuscita a mostrare solo che C non è aperto. Ho fatto il disegno è ho trovato che l'insieme C è il piano passante per $x_3 = 1$ (posto - o meglio, ci provo, anche l'orrido disegno fatto con Paint...l'ho fatto in uni)
Beh, comunque, analogamente con l'esercizio precedente della retta, qui se considero una sferetta di centro un punto del piano, chiaramente contiene anche punti non appartenenti al piano).
Poi, beh, direi che B è aperto (è un polinomio con un segno <) però non so come dimostrarlo, e per gli altri due non so.
Beh, forse anche A: anche $||x|| = sqrt( x_1 ^2 + x_2 ^2 + x_ 3 ^ 2)$ è la radice quadrata di un polinomio in $x_1, x_2, x_3$..
Però non so come procedere: devo usare una funzione? Ma quale?
Penultima domanda: se l'esercizio chiede di mostrare quali sottoinsiemi sono chiusi? (Gli esercizi del libro non lo chiedono mai, ma tra alcuni esercizi dati dalla mia insegnante capita)
Infine un'ultimissima domanda (almeno per questo post): ma se l'esercizio fosse con una metrica non euclidea? Il metodo cambia?
Grazie mille
[edit] Non avevo caricato l'immagine...
Mi sembra di capire...però ho provato a fare un esercizio simile (ma in $RR^3$) e sono un po' bloccata.
Posto l'esercizio (non devo aprire un nuovo topic, vero?)
Il testo è sempre il medesimo: Dire quanti dei seguenti sottoinsiemi di $RR^3$ sono aperti rispetto alla metrica euclidea:
$A = {x in RR^3 : ||x|| > 2}$
$B = {(x_1, x_2, x_3) : x_1 ^2 + x_2 ^2 < 1}$
$C= {(x_1, x_2, x_3) : x_3 = 1}$
$D = RR^2 x QQ = {(x_1, x_2, x_3) : x_3 in QQ}$
Dunque. Per ora sono riuscita a mostrare solo che C non è aperto. Ho fatto il disegno è ho trovato che l'insieme C è il piano passante per $x_3 = 1$ (posto - o meglio, ci provo, anche l'orrido disegno fatto con Paint...l'ho fatto in uni
) Beh, comunque, analogamente con l'esercizio precedente della retta, qui se considero una sferetta di centro un punto del piano, chiaramente contiene anche punti non appartenenti al piano).
Poi, beh, direi che B è aperto (è un polinomio con un segno <) però non so come dimostrarlo, e per gli altri due non so.
Beh, forse anche A: anche $||x|| = sqrt( x_1 ^2 + x_2 ^2 + x_ 3 ^ 2)$ è la radice quadrata di un polinomio in $x_1, x_2, x_3$..
Però non so come procedere: devo usare una funzione? Ma quale?
Penultima domanda: se l'esercizio chiede di mostrare quali sottoinsiemi sono chiusi? (Gli esercizi del libro non lo chiedono mai, ma tra alcuni esercizi dati dalla mia insegnante capita)
Infine un'ultimissima domanda (almeno per questo post): ma se l'esercizio fosse con una metrica non euclidea? Il metodo cambia?
Grazie mille
[edit] Non avevo caricato l'immagine...
Ok per $C$. Per $A$ e $B$ puoi ripetere sempre lo stesso discorso che abbiamo fatto prima, no? Ti pare strano che le funzioni $x_1^2+x_2^2$ e $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ siano continue? Anzi, la seconda è pure uniformemente continua.
Per $D$ invece il discorso è un pochino più delicato. Questo insieme non è aperto: dimostralo con la stessa tecnica usata per $C$.
Detto questo, l'altra domanda: come si procede per i chiusi? E' la stessa cosa che per gli aperti. O si usa la definizione (chiuso è ciò che ha il complementare aperto), oppure si può provare che si tratta della controimmagine mediante una funzione continua di un insieme chiuso: se consulti la teoria, vedrai che una definizione equivalente di funzione continua è
$f: X\toY$ è continua $iff$ per ogni $F \subset Y$ chiuso, $f^{-1}(F)$ è un sottoinsieme chiuso di $X$.
Si potrebbe fare anche un discorso di chiusura e/o di punti di accumulazione ma lo vediamo solo se è necessario, è un argomento un po' più avanzato dei precedenti.
L'ultima domanda: e con una metrica diversa? Il metodo, in teoria, non cambia. In pratica però hai una difficoltà aggiuntiva: potrebbe non esserci più un modo facile per sapere quali funzioni sono continue. Quindi occorre stare più attenti.
Per $D$ invece il discorso è un pochino più delicato. Questo insieme non è aperto: dimostralo con la stessa tecnica usata per $C$.
Detto questo, l'altra domanda: come si procede per i chiusi? E' la stessa cosa che per gli aperti. O si usa la definizione (chiuso è ciò che ha il complementare aperto), oppure si può provare che si tratta della controimmagine mediante una funzione continua di un insieme chiuso: se consulti la teoria, vedrai che una definizione equivalente di funzione continua è
$f: X\toY$ è continua $iff$ per ogni $F \subset Y$ chiuso, $f^{-1}(F)$ è un sottoinsieme chiuso di $X$.
Si potrebbe fare anche un discorso di chiusura e/o di punti di accumulazione ma lo vediamo solo se è necessario, è un argomento un po' più avanzato dei precedenti.
L'ultima domanda: e con una metrica diversa? Il metodo, in teoria, non cambia. In pratica però hai una difficoltà aggiuntiva: potrebbe non esserci più un modo facile per sapere quali funzioni sono continue. Quindi occorre stare più attenti.
"dissonance":
Ok per $C$. Per $A$ e $B$ puoi ripetere sempre lo stesso discorso che abbiamo fatto prima, no? Ti pare strano che le funzioni $x_1^2+x_2^2$ e $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ siano continue? Anzi, la seconda è pure uniformemente continua.
Sì, che siano continue ok (non riporto la dimostrazione, è semplice)...ma non riesco a proseguire: non capisco quali aperti devo considerare per applicare la continuità e l'apertura della controimmagine.
Mi dispiace, non riesco ad arrivarci.
(ci ho provato eh: sotto ti scrivo le mie folli idee)Con $f(x_1, x_2) = x_1$, la funzione dell'esercizio precedente, mi era sembrato di aver capito; però non riesco ad applicare lo stesso metodo per le nuove due funzioni: faccio confusione tra insieme di definizione dell'immagine e della controimmagine (sempre che c'entrino).
Per esempio per $f(x_1, x_2) = x_1 ^2 + x_2 ^ 2 $ :
io avevo pensato di considerare $f^{-1} (-1, 1)$ ma con mooooooolti dubbi.
E analogamente per la seconda funzione pensavo di considerare (non ridere, ti prego) $f^{-1}(-oo, 2/3) $ e $f^{-1}(2/3, +oo)$ (mi sa che questo poi è completamente folle)
Ok, dopo questo risposta da pazzoide probabilmente mi abbandonerai al mio triste destino di persona topologicamente-ignorante.
Grazie lo stesso per l'aiuto...
Buona serata
"lewis"::-)
(non ridere, ti prego)
Evidentemente hai qualche problema con il concetto di "controimmagine". Per definizione se $f:A\toB$ e $S\subsetB$, allora $f^{-1}(S)={a\inA\ :\ f(a)\inS}$. Ricordiamoci anche la definizione di "intervallo": dati $a, b\inRR$, con $a
Allora, pensiamo ad una applicazione $f:X\toRR$. La controimmagine di un intervallo di tipo $(a, b)$ è:
$f^{-1}(a, b)={x\inX\ :\ a
se $b=+\infty$ abbiamo
$f^{-1}(a, +\infty)={x\inX\ :\ a
e così via.
A parole, gli insiemi definiti da una o due disuguaglianze sono sempre controimmagini di opportuni intervalli. Quindi è facile scrivere come controimmagine l'insieme $A$:
$A={x\inRR^3\ :\ ||x||>2}=f^{-1}(2, +\infty)$ dove $f(x)=||x||$;
$B={x\inRR^3\ :\ x_1^2+x_2^2<1}=g^{-1}(-\infty, 1)$ dove $g(x_1, x_2, x_3)=x_1^2+x_2^2$.
e così via... Se avessi
${x\in RR^3\ :\ \text{una funzione qualsiasi}(x)>50}$
sarebbe la controimmagine
$\text{una funzione qualsiasi}^{-1}(50, +\infty)$.
Ho capito!!
GRAZIE!!
OK, avevo pasticciato in maniera vergognosa con le controimmagini...
Beh, quindi per quella parte di esercizio la dimostrazione è anaoga all'esercizio di prima.
Su D ci ho pensato su: il problema riguarda chiaramente la terza coordinata: comunque io prenda una bolla di centro il punto $x in RR^2 xx QQ$, essa contiene punti $p in RR^3$ (cioè aventi anche la terza coordinata non per forza razionale).
Però dimostrarlo in modo un po' meno discorsivo è tutt'altra cosa.
Ma forse non sono sulla strada giusta...
In ogni caso, grazie per tutti gli aiuti che mi hai dato: ora penso di aver davvero capito, e te ne sono davvero grata.
Buona serata
GRAZIE!!
OK, avevo pasticciato in maniera vergognosa con le controimmagini...
Beh, quindi per quella parte di esercizio la dimostrazione è anaoga all'esercizio di prima.
Su D ci ho pensato su: il problema riguarda chiaramente la terza coordinata: comunque io prenda una bolla di centro il punto $x in RR^2 xx QQ$, essa contiene punti $p in RR^3$ (cioè aventi anche la terza coordinata non per forza razionale).
Però dimostrarlo in modo un po' meno discorsivo è tutt'altra cosa.
Ma forse non sono sulla strada giusta...
In ogni caso, grazie per tutti gli aiuti che mi hai dato: ora penso di aver davvero capito, e te ne sono davvero grata.
Buona serata
Si si sei sulla strada giusta. Ricordati che ogni intervallo non vuoto di numeri reali contiene sempre almeno un numero irrazionale (e quindi ne contiene infiniti, ma questo non ti serve).
"dissonance":
Si si sei sulla strada giusta. Ricordati che ogni intervallo non vuoto di numeri reali contiene sempre almeno un numero irrazionale (e quindi ne contiene infiniti, ma questo non ti serve).
Beh, quindi il disco di centro $x$ contiene almeno un punto avente coordinate non razionali (a me basta in realtà un punto che abbia anche solo la terza coordinata irrazionale, ma tanto ne esistono, infiniti, di entrambi i tipi); dunque la bolla non è contenuta in $RR^2xxQQ$, e l'insieme non è perciò aperto.
Ma, se per ipotesi l'insieme fosse stato
$D= {(x,y,z) in RR^3 : z !in QQ}$? La spiegazione non sarebbe a grandi linee la medesima? Cioè in un intervallo di reali esistono infiniti razionali?
E (promessa, questa è l'ultima) se fosse stato:
$D_2 = {(x,y,z) in RR^3: z !in NN}$?
Dopo questa basta, almeno per 'sto topic ho finito di stressarti.
Piuttosto, nei prossimi giorni proverò a fare qualche esercizio analogo ma con metriche differenti (se avessi problemi però penso che dovrò aprire un altro topic, sennò qui andrei OT)
Buona serata e grazie ancora
Rispondo al volo, poi articolo meglio più tardi se faccio in tempo.
1) Si, in ogni intervallo non degenere di numeri reali ci sono dei razionali. Queste cose le hai sicuramente viste nel corso di Analisi 1, probabilmente verso l'inizio, quando si è parlato di topologia di $RR$. Quindi $D$ non è aperto.
2) $D_2$ invece è aperto. Puoi dimostrarlo nei due modi: trova una sferetta per ogni punto oppure una applicazione continua tale che $D_2$ sia la controimmagine di un aperto. Prova, se non ci riesci ne riparliamo.
1) Si, in ogni intervallo non degenere di numeri reali ci sono dei razionali. Queste cose le hai sicuramente viste nel corso di Analisi 1, probabilmente verso l'inizio, quando si è parlato di topologia di $RR$. Quindi $D$ non è aperto.
2) $D_2$ invece è aperto. Puoi dimostrarlo nei due modi: trova una sferetta per ogni punto oppure una applicazione continua tale che $D_2$ sia la controimmagine di un aperto. Prova, se non ci riesci ne riparliamo.
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