Sottoinsieme di uno spazio topologico chiuso
buongiorno a tutti
qualcuno potrebbe darmi un aiuto nel fare una dimostrazione formale di questa affermazione:
sia $(X, tau)$ uno spazio topologico. Si provi che un sottoinsieme A di X è chiuso se e solo se $A' sube A$, cioè $A$ contiene tutti i suoi punti limite.
grazie mille a chi mi vorrà aiutare
qualcuno potrebbe darmi un aiuto nel fare una dimostrazione formale di questa affermazione:
sia $(X, tau)$ uno spazio topologico. Si provi che un sottoinsieme A di X è chiuso se e solo se $A' sube A$, cioè $A$ contiene tutti i suoi punti limite.
grazie mille a chi mi vorrà aiutare
Risposte
Cosa intendi per punto limite?
punto limite=punto di accumulazione
Per assurdo \(\displaystyle A\) sia chiuso e un suo punto di accumulazione \(\displaystyle x\) non gli appartenga, considerato \(\displaystyle A^{-1}\) (il complementare): cosa puoi affermare su questi ultimi due?
$x$ appartiene al complementare
E topologicamente com'è questo complementare? Che conseguenza ha tale proprietà su \(\displaystyle x\)? Perché ottieni un assurdo?
$A^(-1)$ è aperto perché complementare di un chiuso
poiché $x$ è di accumulazione è anche un punto di frontiera ma essendo $A^(-1)$ aperto allora $x$ non può appartenere a $A^(-1)$ perché per essere aperto $A^(-1)nn Fr(A^(-1))=\emptyset$
quindi ho ottenuto un assurdo
quindi $A^(-1)$ non contiene $x$ ma avendo preso $x$ casuale non contiene nessun punto di accumulazione che sono quindi contenuti in $A$
poiché $x$ è di accumulazione è anche un punto di frontiera ma essendo $A^(-1)$ aperto allora $x$ non può appartenere a $A^(-1)$ perché per essere aperto $A^(-1)nn Fr(A^(-1))=\emptyset$
quindi ho ottenuto un assurdo
quindi $A^(-1)$ non contiene $x$ ma avendo preso $x$ casuale non contiene nessun punto di accumulazione che sono quindi contenuti in $A$
Bene!
Prova ora con l'implicazione inversa, ragionando alla stessa maniera.
Prova ora con l'implicazione inversa, ragionando alla stessa maniera.
è vero mi ero completamente dimenticata che era un se e solo se...
$A$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione e di conseguenza tutti i suoi punti di frontiera
$A^(-1)$ non contiene i punti di frontiera e quindi è aperto
di conseguenza $A$ è chiuso
$A$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione e di conseguenza tutti i suoi punti di frontiera
$A^(-1)$ non contiene i punti di frontiera e quindi è aperto
di conseguenza $A$ è chiuso
"miriam161089":Scusami, questo è falso!
...poiché $ x $ è di accumulazione è anche un punto di frontiera...
Un punto di frontiera è un punto di accumulazione (esercizio se vuoi); devi utilizzare l'ipotesi che \(\displaystyle x\in A^{-1}\) e che \(\displaystyle x\) è un punto di accumulazione per \(\displaystyle A\).
scusami ma perché posso essere certo che un punto di frontiera è un punto di accumulazione?
a me non risulta vera questa affermazione
per esempio un punto isolato può essere di frontiera ma non di accumulazione
a me non risulta vera questa affermazione
per esempio un punto isolato può essere di frontiera ma non di accumulazione
"miriam161089":Come? Esempio!
...un punto isolato può essere di frontiera...
se prendo $NN$ in $RR$ sono tutti punti isolati e sono tutti di frontiera ma non sono di accumulazione...
però magari sto sbagliando qualcosa...
però magari sto sbagliando qualcosa...
In quell'esempio consideri \(\displaystyle\mathbb{N}\) con la topologia discreta, e io ti dico che la frontiera di un qualsiasi spazio discreto è vuota!
Ti riporto la definizione di frontiera di un insieme \(\displaystyle S\) in uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\):
\[
\partial S=\overline{S}\cap\overline{X\setminus S}.
\]
Ti riporto la definizione di frontiera di un insieme \(\displaystyle S\) in uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\):
\[
\partial S=\overline{S}\cap\overline{X\setminus S}.
\]
ma scusa la definizione di punto di frontiera è
un punto è di frontiera se ogni intorno di $x$ ha almeno un punto appartenente a $X$ e almeno un punto non appartenente a $X$
giusto?
e allora perché i punti di $NN$ non sono di frontiera?
un punto è di frontiera se ogni intorno di $x$ ha almeno un punto appartenente a $X$ e almeno un punto non appartenente a $X$
giusto?
e allora perché i punti di $NN$ non sono di frontiera?
Faccio un pò di ordine: \(\displaystyle\mathbb{N}\) è un insieme chiuso di punti isolati in \(\displaystyle\mathbb{R}\) quindi hai ragione tu; come insieme a sé stante vale quanto ti ho scritto!
Morale della favola: i punti isolati possono essere punti di frontiera!
Ma comunque i punti di accumulazione non sono sempre punti di frontiera, ma viceversa; e.g.: \(\displaystyle\mathbb{N}\) con la topologia discreta!
Ti torna tutto?
Morale della favola: i punti isolati possono essere punti di frontiera!
Ma comunque i punti di accumulazione non sono sempre punti di frontiera, ma viceversa; e.g.: \(\displaystyle\mathbb{N}\) con la topologia discreta!
Ti torna tutto?
sul fatto che un punto di accumulazione non è per forza di frontiera ci sono anche perché se penso alle definizioni era abbastanza ovvio
quello che non mi torna è il contrario perché penso che in generale non sia vero visto l'esempio che ho scritto e quindi visto che devo dimostrare l'affermazione per un qualunque spazio topologico non posso usare il fatto che un punto di frontiera è di accumulazione
quello che non mi torna è il contrario perché penso che in generale non sia vero visto l'esempio che ho scritto e quindi visto che devo dimostrare l'affermazione per un qualunque spazio topologico non posso usare il fatto che un punto di frontiera è di accumulazione
Per definizione un punto \(\displaystyle x_0\) è di frontiera a un sottospazio \(\displaystyle S\) di uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) se è di accumulazione (od aderenza se preferisci) per \(\displaystyle S\) e per \(\displaystyle X\setminus S\)...
Ti risulta?
Ti risulta?
non ce l' avevo come definizione ma se penso alla definizione di punto di accumulazione e una conseguenza quindi ci sono
ma allora perchè non vale per tutti i sottoinsiemi?
ma allora perchè non vale per tutti i sottoinsiemi?
Potresti formulare meglio e con chiarezza la domanda... Non l'ho capita!
la mia domanda è essendo quella una definizione perché ci sono dei casi in cui non vale?
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