Sottoinsieme di polinomi

[spark94]

Verificare che U={p(x) ∈ R2[x]: p"(0)=p(0)=0} è un sottospazio vettoriale di R2[x]

Potreste farmi la dimostrazione? grazie

[Pappappero1]

Potresti provare intanto a iniziare?

Cosa bisogna fare per verificare che un certo sottoinsieme $S$ si uno spazio vettoriale $V$ e' un sottospazio?

[spark94]

verificare se lo 0 di V appartiene ad S
verificare se S è chiuso rispetto alla somma di suoi vettori
verificare se S è chiuso rispetto il prodotto di uno scalare per un suo vettore

--la prima condizione è verificata
--per quanto riguarda la seconda dovrebbe essere, presi due polinomi p(x) e q(x):

(p"+q")(0)=(p+q)(0)=0

p"(0)+q"(0)=p(0)+q(0)=0

essendo P"(0)=p(0)=0 dalla precedente equazione risulta che anche q"(0)=q(0)=0 quindi anche la somma è verificata
--la terza condizione, preso un qualunque k ∈ R:
kp"(0)=kp(0)=0

e anche questa è verificata, quindi è un sottospazio vettoriale.
corretto?

[Pappappero1]

Direi di si...proverei a scriverlo in maniera un pochino piu' ordinata, scrivendo chiaramente ad ogni passo quale e' l'ipotesi e quale la tesi.

Ma l'idea sembra corretta.

[spark94]

In questo caso il sistema di generatori, e la base, sarebbe solamente (x)?
Perchè, prendendo un generico polinomio di secondo grado p(x)=a+bx+cx^2, per x=0 questo si annulla solo se a=0, invece, la sua derivata seconda p"(x)=2c si annulla per c=0, pertanto rimane soltanto bx

[Pappappero1]

Esatto.