Sottoinsieme di $\mathbb(P)^1(\RR)\times\RR^4$
Ciao a tutti. Sto riprendendo geometria dopo molto tempo e ci sono alcuni esercizi che mi stanno mettendo in grossa difficoltà. Vorrei qualche indicazione, magari una spinta. Ad esempio il seguente:
$Z$ è il sottoinsieme di $\mathbb(P)^1(\RR)\times\RR^4$ formato dalle coppie $([x_o,x_1],(a_0,a_1,a_2,a_3))$ tali che
$x_0^4+a_1x_0^3x_1+a_2x_0^2x_1^2+a_3x_0x_1^3+a_4x_1^4=0$.
Dovrei dimostrare che $Z$ è chiuso nel prodotto e dedurne che l'insieme dei valori $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ per cui il polinomio monico $t^4+a_1t^3+a_2t^2+a_3t+a_4$ possiede almeno una radice reale è chiuso.
La seconda parte non riesco a decifrarla proprio. Per la prima (Z chiuso) ho cercato di usare la chiusura della proiezione di $\RR^2$ su $\mathbb(P)^1$ però non so come usarla nel prodotto. Ovvero, la chiusura rimane quando <> quell' $\RR^4$? Oppure ho provato a lavorare su $\RR^6 = \RR^2 \times \RR^4$ e in qualche modo di fare un quoziente solo di quel $\RR^2$ però non concludo niente. Nota: l'esercizio dovrebbe essere risolto usando quozienti topologici, identificazioni, omeomorfismi e risultati di topologia generale e/o geometria proiettiva. Grazie.
$Z$ è il sottoinsieme di $\mathbb(P)^1(\RR)\times\RR^4$ formato dalle coppie $([x_o,x_1],(a_0,a_1,a_2,a_3))$ tali che
$x_0^4+a_1x_0^3x_1+a_2x_0^2x_1^2+a_3x_0x_1^3+a_4x_1^4=0$.
Dovrei dimostrare che $Z$ è chiuso nel prodotto e dedurne che l'insieme dei valori $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ per cui il polinomio monico $t^4+a_1t^3+a_2t^2+a_3t+a_4$ possiede almeno una radice reale è chiuso.
La seconda parte non riesco a decifrarla proprio. Per la prima (Z chiuso) ho cercato di usare la chiusura della proiezione di $\RR^2$ su $\mathbb(P)^1$ però non so come usarla nel prodotto. Ovvero, la chiusura rimane quando <
Risposte
Per il primo punto, ti consiglio di usare la proiezione \(\displaystyle \pi : \mathbb{R}^6 \to \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \times \mathbb{R^4} \) della relazione di equivalenza: \(\displaystyle (x_0,x_1,a_0,a_1,a_2,a_3) \sim (y_0,y_1,b_0,b_1,b_2,b_3) \Leftrightarrow a_i=b_i \) per \(\displaystyle i=0,1,2,3 \) e esiste \(\displaystyle \ k\neq 0 \) tale che \(\displaystyle (x_0,x_1)=k(y_0,y_1) \).
Essendo l'equazione omogenea nelle prime due coordinate, \(\displaystyle Z \) risulta la proiezione dell sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}^6 \) le cui coordinate soddisfano la stessa equazione. Tale insieme è un chiuso. Non ricordo sotto che condizioni la proiezione è chiusa, quindi su questo devi aiutarmi
se lo è, hai concluso. Altrimenti, dobbiamo pensare a un'altra strategia.
Per il secondo punto, osserva che in \(\displaystyle Z \) hai \(\displaystyle x_0 \neq 0 \), perciò puoi identificare la sue coordinate omogenee proiettive con coordinate affini. Le coordinate affini soddisfano quel polinomio monico se e solo se quelle proiettive soddisfano l'equazione di \(\displaystyle Z \). Credo questo sia il punto di partenza.
Essendo l'equazione omogenea nelle prime due coordinate, \(\displaystyle Z \) risulta la proiezione dell sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}^6 \) le cui coordinate soddisfano la stessa equazione. Tale insieme è un chiuso. Non ricordo sotto che condizioni la proiezione è chiusa, quindi su questo devi aiutarmi
se lo è, hai concluso. Altrimenti, dobbiamo pensare a un'altra strategia.Per il secondo punto, osserva che in \(\displaystyle Z \) hai \(\displaystyle x_0 \neq 0 \), perciò puoi identificare la sue coordinate omogenee proiettive con coordinate affini. Le coordinate affini soddisfano quel polinomio monico se e solo se quelle proiettive soddisfano l'equazione di \(\displaystyle Z \). Credo questo sia il punto di partenza.
Ciao, allora innanzitutto grazie per la risposta. Ci ho pensato parecchio e per il momento credo di aver risolto il primo punto. Ci ero arrivato tanto vicino ma non avevo osato. Invece di usare la proiezione di $\RR^2$ su $\mathbb P^1$ ho usato quella con dominio $S^1$. Il <> non cambia in quanto il polinomio che definisce l'insieme è omogeneo per cui se $(x_0,x_1) \in \RR$ risolve l'equazione, anche $\lambda(x_0,x_1)$ la risolve per ogni $lambda \=0$. Allora io posso in qualche maniera scomporre la proiezione da $\RR^2$ su $\mathbb P^1$ in una prima proiezione sulla circonferenza e poi una proiezione da quest'ultima sullo spazio proiettivo. Ma la proiezione sulla circonferenza di un insieme con la proprietà di omogeneità appena detta altro non è che l'intersezione dello stesso insieme con la circonferenza (se non conta il modulo del vettore per l'equazione allora i vettori di modulo uno tengono su da soli la baracca). La circonferenza è chiusa e l'intersezione di chiusi e chiusa.
Quindi resta da dimostrare che l'applicazione $F=\pi\times Id : S^1 \times \RR^4 \to \mathbb P^1 \times \RR^4$ è chiusa. So dalla teoria che la <> di $F$ ossia $\pi$ è chiusa (es. funzione continua da compatto a T2). Sia allora $C$ un chiuso in $S^1 \times \RR^4$ e $F(C)\subseteq \mathbb P^1 \times \RR^4$ la sua immagine. Se l'immagine non è tutto (cosa che terminerebbe la dimostrazione) allora esiste un punto $(x,a) \in \mathbb P^1 \times \RR^4$ che non sta in $F(C)$. La sua preimmagine è costituita dai due punti $\{(r_1,a),(r_2,a)\}$. Ciascuno dei due punti ha un intorno aperto della forma $A\times B$ con $A,B$ aperti, tutto contenuto nel complementare di $C$ che è aperto. In particolare $A^C,B^C$ sono chiusi e vale $C\subset (A^C\times \RR^4)\cup (S^1\times B^C)$. Quest'ultimo insieme è chiuso. Dunque la sua immagine $D:=(\pi (A^C)\times \RR^4) \cup (\pi(S^1)\times B^C)$ è chiusa perché $\pi$ è chiusa. Allora vale $F(C)\subset D$ e $(x,a)\in D^C$. $D^C$ quindi è un intorno aperto di $(x,a)$ tutto contenuto in $F(C)^C$ e quest'ultimo è quindi aperto dunque $F(C)$ è chiuso.
Se qualcuno conosce una dimostrazione più agile si faccia avanti però intanto questa mi sembra che funzioni. Opinioni?
Quindi resta da dimostrare che l'applicazione $F=\pi\times Id : S^1 \times \RR^4 \to \mathbb P^1 \times \RR^4$ è chiusa. So dalla teoria che la <
Se qualcuno conosce una dimostrazione più agile si faccia avanti però intanto questa mi sembra che funzioni. Opinioni?
Secondo me, va bene.
(Alla fine intendevi \(\displaystyle F(C) \subset D \) credo.)
(Alla fine intendevi \(\displaystyle F(C) \subset D \) credo.)
Sì, ho corretto, grazie. Per la seconda parte al momento mi sembra semplice però chissà. Chiamo $P(x_0,x_1,a_1,a_2,a_3,a_4)$ il polinomio omogeneo, $p(t,a_1,a_2,a_3,a_4)$ il suo deomogeneizzato rispetto a $x_1$ e $p_a(t)$ lo stesso polinomio visto considerando $a_1,a_2,a_3,a_4$ come parametri. L'insieme $Z$ è l'insieme delle coppie che annullano il polinomio $P$. Tutte queste coppie hanno $x_1!=0$ quindi $Z$ è contenuto nell'insieme ${x_1!=0}\times \RR^4$ che è omeomorfo a $\RR\times\RR^4$. In questo insieme $Z$ si descrive come il luogo degli zeri del polinomio $p$. Se però considero gli $a_i$ come parametri (ovvero considero la proiezione di $Z$ sulla seconda componente) ottengo l'insieme $W$ di tutti i vettori $a$ per cui esiste almeno una coppia $(t,a)\in Z$ ovvero tutti gli $a$ per cui il polinomio $p_a$ ha almeno una radice reale. Quindi se $\pi':\RR\times\RR^4 \to \RR^4$ ho che $W=\pi'(Z)$. Però $Z$ posso tornare a vederlo come elemento di $\mathbb P^1\times\RR^4$ (estendo il dominio ma l'insieme Z e la topologia restano invariate) e la proiezione $\pi'':\mathbb P^1\times\RR^4 \to \RR^4$ è chiusa perchè in generale: se $Y$ è compatto allora $X\times Y \to X$ è una proiezione chiusa. Allora $W$ è chiuso perché immagine di un chiuso.
Può andare?
Può andare?
Sì, mi sembra che vada bene 
Ma puoi proiettare direttamente \(\displaystyle Z \), senza passare attraverso la disomogeneizzazione (anche se hai fatto bene a riportare questo ragionamento, perché ti ha permesso di arrivare alla soluzione).
Ma puoi proiettare direttamente \(\displaystyle Z \), senza passare attraverso la disomogeneizzazione (anche se hai fatto bene a riportare questo ragionamento, perché ti ha permesso di arrivare alla soluzione).
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