Sottoinsieme chiuso
Cerco di andare subito al dunque:
ho l' insieme $A={(x,y): x in U, y in V_x}$
dove $U={x:EE y, (x,y) in A}$
e $V_x={y: (x,y)\in A}$
Devo dimonstrare che se A e' chiuso allora anche $V_x$ lo e',mentre per U non e' detto.
Grazie a tutti!!
ho l' insieme $A={(x,y): x in U, y in V_x}$
dove $U={x:EE y, (x,y) in A}$
e $V_x={y: (x,y)\in A}$
Devo dimonstrare che se A e' chiuso allora anche $V_x$ lo e',mentre per U non e' detto.
Grazie a tutti!!
Risposte
Guarda, arrivata quest'ora di solito inizio a non capire più niente, quindi forse mi sbaglierò; ma la definizione di $A$, $V_x$, $U$ non mi sembra ben posta. Perché $A$ è definito in funzione di $U, V_x$, e anche $U, V_x$ sono definiti in funzione di $A$.
credo sia esatto...sto semplicemente dicendo che A si può scrivere come prodotto cartesiano di quei due insiemi....diciamo che A è un sottoinsieme di X, quindi U è l'insieme di tutti gli x appartenente a X per cui esiste un y appartenente a X, tale che la coppia (x,y) appartiene ad A.
Ora per ogni x posso definire l'insieme V_x che è l'insieme di tutti gli y appartenenti a X tale che la coppia (x,y) appartiene ad A.
Non so se così a parole è più chiaro.
Ora per ogni x posso definire l'insieme V_x che è l'insieme di tutti gli y appartenenti a X tale che la coppia (x,y) appartiene ad A.
Non so se così a parole è più chiaro.
Mmmh... ancora non mi pare ben detto... Facciamo così:
Inizia a specificare in quale spazio topologico vive l'insieme $A$.
Presumo si tratti di un prodotto topologico $XtimesY$, dove $X, Y$ sono spazi topologici assegnati. Allora $U={x\inX:existsy" t.c. "(x, y)\inA}$ e $V_x={y\inY:(x, y)\inA}$. Supponiamo che $A$ sia chiuso. Giusto?
Inizia a specificare in quale spazio topologico vive l'insieme $A$.
Presumo si tratti di un prodotto topologico $XtimesY$, dove $X, Y$ sono spazi topologici assegnati. Allora $U={x\inX:existsy" t.c. "(x, y)\inA}$ e $V_x={y\inY:(x, y)\inA}$. Supponiamo che $A$ sia chiuso. Giusto?
A vive in XxX
Scusa, dimenticavo la domanda finale...supponiamo che A sia chiuso, allora devo dimostrare che anche V_x lo è, mentre U può non esserlo.
In uno spazio metrico sarebbe facile da vedere: prendi una successione ${v_n}$ in $V_x$ convergente, diciamo $v_n\tov$; allora la successione $(x, v_n)$ è in $A$, converge e quindi converge ad un elemento di $A$ ($A$ è chiuso). Allora $(x, v)\inA$ da cui $v\inV_x$ e perciò $V_x$ è chiuso.
Ma penso che a te serva parlare di uno spazio topologico qualsiasi. In questo caso io proverei a dimostrare che il complementare di $V_x$ è aperto. Infatti, se prendi $z\inX-V_x$, il punto $(x, z)$ non appartiene ad $A$ e $A$ è chiuso...Quindi trovi un rettangolo aperto contenente $(x, z)$ e disgiunto da $A$. Da qui salterà fuori (credo) un intorno aperto di $z$ in $X$ tutto contenuto nel complementare di $V_x$, e quindi $V_x$ sarà chiuso.
Ma penso che a te serva parlare di uno spazio topologico qualsiasi. In questo caso io proverei a dimostrare che il complementare di $V_x$ è aperto. Infatti, se prendi $z\inX-V_x$, il punto $(x, z)$ non appartiene ad $A$ e $A$ è chiuso...Quindi trovi un rettangolo aperto contenente $(x, z)$ e disgiunto da $A$. Da qui salterà fuori (credo) un intorno aperto di $z$ in $X$ tutto contenuto nel complementare di $V_x$, e quindi $V_x$ sarà chiuso.
ciao e grazie per la risposta; per il momento mi va bene risolvere il problema anche in uno spazio metrico; al ragionamento della successione convergente c'ero arrivata, il problema è che se faccio lo stesso rafgionamento per U, ottengo che anche U è chiuso, invece per U non è detto...mi chiedo allora dove sbaglio...
Infatti non è detto che $U$ sia chiuso. Mi viene in mente un esempio, spero ti sia di aiuto:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5; axes(); plot("1/x");[/asvg]
Sia $A$ questa iperbole di $RR^2$. Si tratta di un insieme chiuso (è la controimmagine di ${1}$ mediante la funzione continua $(x, y)\mapstoxy$); ma se calcoli il suo $U$ ottieni la semiretta $(0, infty)$ che invece chiusa non è.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5; axes(); plot("1/x");[/asvg]
Sia $A$ questa iperbole di $RR^2$. Si tratta di un insieme chiuso (è la controimmagine di ${1}$ mediante la funzione continua $(x, y)\mapstoxy$); ma se calcoli il suo $U$ ottieni la semiretta $(0, infty)$ che invece chiusa non è.
scusa sono un pò fusa....perchè quella sarebbe la controimmagine di ${0}$?
Inoltre, al di là del controesempio, che trovo utile e sempre efficace, perchè se procedo con la convergenza di successioni, mi sembra di dimstrare che anche U sia chiuso? dove sbaglio?
Cioè: prendo una successione $u_n$ in U convergente a un elemento $u$; per $u_n$ esisterà $y$ appartenente a $X$ tale che $(u_n,y) in A$; ma $(u_n,y)$ converge a $(u,y)$ che si trova in $A$ visto che quest'ultimo è chiuso...allora $u_n in U$.
Dove sbaglio?
Forse perchè $y$ non è fissato?non so
grazie
Inoltre, al di là del controesempio, che trovo utile e sempre efficace, perchè se procedo con la convergenza di successioni, mi sembra di dimstrare che anche U sia chiuso? dove sbaglio?
Cioè: prendo una successione $u_n$ in U convergente a un elemento $u$; per $u_n$ esisterà $y$ appartenente a $X$ tale che $(u_n,y) in A$; ma $(u_n,y)$ converge a $(u,y)$ che si trova in $A$ visto che quest'ultimo è chiuso...allora $u_n in U$.
Dove sbaglio?
Forse perchè $y$ non è fissato?non so
grazie
"fabiola":
scusa sono un pò fusa....perchè quella sarebbe la controimmagine di ${0}$?
Hai ragione, ho sbagliato. Quella è l'iperbole di equazione $xy=1$, quindi è la controimmagine di ${1}$, che è comunque un chiuso. Oppure la puoi vedere come la controimmagine di ${0}$ mediante la funzione continua $xy-1$... insomma, ci siamo capiti.
"fabiola":
Inoltre, al di là del controesempio, che trovo utile e sempre efficace, perchè se procedo con la convergenza di successioni, mi sembra di dimstrare che anche U sia chiuso? dove sbaglio?
Cioè: prendo una successione $u_n$ in U convergente a un elemento $u$; per $u_n$ esisterà $y$ appartenente a $X$ tale che $(u_n,y) in A$; ma $(u_n,y)$ converge a $(u,y)$ che si trova in $A$ visto che quest'ultimo è chiuso...allora $u_n in U$.
Dove sbaglio?
Forse perchè $y$ non è fissato?non so
grazie
Esatto: perché $y$ non è fissato. Proviamo ad applicare questo procedimento alla nostra iperbole. In questo caso $U=(0, infty)$, possiamo considerare la successione $u_n=1/n\inU$ convergente a $0\notinU$.
Però per ogni $u_n$ esiste certamente un $y_n$ tale che $(u_n, y_n)$ è sull'iperbole - volendo lo possiamo esplicitare: $y_n=1/(u_n)=n$.
Come vedi la successione $(u_n, y_n)=(1/n, n)$ non converge. E quindi non ci fornisce nessuna informazione.
Grazie mille...ora è tutto chiaro; adesso devo provare la stessa cosa con gli aperti, cioè se A è aperto, devo far vedere che anche V lo è mentre O non è detto.
Provo, ma mi sembra di avere lo stesso problema; per V riesco a diomostrarlo e mi sembra di dimostrarlo anche per O.
Comunque grazie ancora.
Provo, ma mi sembra di avere lo stesso problema; per V riesco a diomostrarlo e mi sembra di dimostrarlo anche per O.
Comunque grazie ancora.
Ma $V$ e $O$ chi sono? Nell'esercizio precedente si chiamavano $V_x$ e $U$. Presumo si tratti degli stessi insiemi, ovvero:
sia $A$ aperto in $XtimesX$;
sia, per ogni $x\inX$, $V_x={y\inX\ :\ (x, y)\inA}$ (questo insieme si chiama, a volte, x-sezione);
e sia $O={y\inX\ :\ \existsx\ "t.c."\ (x, y)\inA}$.
Se ho capito bene dobbiamo mostrare che $V_x$ è aperto per ogni $x$ mentre per $O$ non è detto.
______________________
Ora stavo pensando all'insieme $O$. Se è definito come ho scritto sopra, mi sa tanto che è aperto. Infatti, detta $p_2: XtimesX\toX$, $p_2(x, y)=y$, questa applicazione è continua e aperta (è una proprietà fondamentale della topologia prodotto). E, se non mi sbaglio, $p_2(A)=O$. Dunque $O$ è aperto.
sia $A$ aperto in $XtimesX$;
sia, per ogni $x\inX$, $V_x={y\inX\ :\ (x, y)\inA}$ (questo insieme si chiama, a volte, x-sezione);
e sia $O={y\inX\ :\ \existsx\ "t.c."\ (x, y)\inA}$.
Se ho capito bene dobbiamo mostrare che $V_x$ è aperto per ogni $x$ mentre per $O$ non è detto.
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Ora stavo pensando all'insieme $O$. Se è definito come ho scritto sopra, mi sa tanto che è aperto. Infatti, detta $p_2: XtimesX\toX$, $p_2(x, y)=y$, questa applicazione è continua e aperta (è una proprietà fondamentale della topologia prodotto). E, se non mi sbaglio, $p_2(A)=O$. Dunque $O$ è aperto.
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