Sottogruppo normale
Salve a tutti.
Non riesco a dimostrare questo piccolo lemma:
Dimostrare che se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che $[G] = 2$, allora $H$ è normale in $G$.
Come dimostro che $\forall g \in G$, $gHg^{-1} \subset H$?
Grazie
Non riesco a dimostrare questo piccolo lemma:
Dimostrare che se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che $[G] = 2$, allora $H$ è normale in $G$.
Come dimostro che $\forall g \in G$, $gHg^{-1} \subset H$?
Grazie
Risposte
Io proverei a dimostrare che $gH=Hg$, $\forall g\inG$.
La dimostrazione più banale che mi viene in mente è che, visto che $[G]=2$, $G$ si partiziona in esattamente due "cosets", sia destri che sinistri.
Ovvero esistono delle $g,f \in G$ per cui
$G//H = {eH, gH} = {H,gH}$, con $g ne e$ e
$H\\G = {He,Hf} = {H, Hf}$, $f \ne e$
Visto che $G = H \cup gH = H \cup Hf$ (unione disgiunta), segue che $gH = Hf$. Segue che l'insieme dei "right e left cosets" sono esattamente uguali, il che implica la normalità di $H$.
Può andar bene?
Ovvero esistono delle $g,f \in G$ per cui
$G//H = {eH, gH} = {H,gH}$, con $g ne e$ e
$H\\G = {He,Hf} = {H, Hf}$, $f \ne e$
Visto che $G = H \cup gH = H \cup Hf$ (unione disgiunta), segue che $gH = Hf$. Segue che l'insieme dei "right e left cosets" sono esattamente uguali, il che implica la normalità di $H$.
Può andar bene?
la definizione di sottogruppo normale vuole che $gH=Hg$ io quindi aggiungerei solo: $g in gH\rArrgin Hf\rArrHf=Hg\rArrgH=Hg$ giusto per fare i puntigliosi
Ok grazie perfetto. 
ora che ci penso bene non so se funziona perchè devi dimostrare che per ogni g deve valere quella cosa invece te hai iniziato con esistono f e g...
forse così:
$AAh in H hH=Hh$
sia $g notinG$ per assurdo $gH!=Hg$ allora $gH=H$ oppure $Hg=H$ in entrambi i casi otteniamo $g*e=ginH$ e $e*g=ginH$ contro l'ipotesi che G non è in H. Spero stavolta sia corretto, magari qualcuno può confermare
magari si può sistemare anche la tua idea, non ci ho pensato però. ciao
forse così:
$AAh in H hH=Hh$
sia $g notinG$ per assurdo $gH!=Hg$ allora $gH=H$ oppure $Hg=H$ in entrambi i casi otteniamo $g*e=ginH$ e $e*g=ginH$ contro l'ipotesi che G non è in H. Spero stavolta sia corretto, magari qualcuno può confermare
magari si può sistemare anche la tua idea, non ci ho pensato però. ciao
"rubik":
per assurdo $gH!=Hg$ allora $gH=H$ oppure $Hg=H$
Forse andrebbe giustificata questa implicazione. Cioè, mi sembra che non sia evidente.
Io direi in un altro modo: se $g notin H$ allora $G = H cup gH = H cup Hg$ e le due unioni sono disgiunte, quindi $gH=Hg$.
Ok grazie mille. In effetti però bastava dimostrare che i due elementi $gH$ e $Hf$ fossero uguali per concludere la dimostrazione. In quanto da wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
bastava soltanto verificare che $G // H = H \\ G$ e la normalità seguiva dalle equivalenze date in wikipedia.
Grazie per l'aiuto.
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup
bastava soltanto verificare che $G // H = H \\ G$ e la normalità seguiva dalle equivalenze date in wikipedia.
Grazie per l'aiuto.
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