Sottobase di una topologia

[Leo S.]

Ciao a tutti, le dispense che seguo mi lasciano come esercizio la dimostrazione del teorema seguente:

Sia $X$ un insieme e $V={U_i}_(iinI)$ una collezione di suoi sottinsiemi. $V$ si dice sottobase per $tau$ s le intersezioni finite di elementi di $V$ sono una base per $tau$ Provare che $V$ è una sottobase $hArr X sub uuu U_i$.

Inizio a lavorare sulla prima implicazione supponendo che $V$ sia una sottobase. Per definizione, dati due elementi $U_1...U_n$ $inV$ si ha $nnn_(iinI)^n U_i=B$ che è una base per $tau$. Ogni aperto non vuoto di $tau$ è dunque esprimibile come unione di elementi di $B$ e quindi in particolare siccome $B=nnn_(iinI)^n U_i sub uuu U_i$, $Xsub uuu U_i$.

Ha senso? Abbiate comprensione, è una delle prime dimostrazioni che svolgo

[killing_buddha]

Ci sono diversi problemi alla notazione, e al significato di ciò che dici che non collima con quello dei simboli che usi:

"Leo S.":Sia $X$ un insieme e $V={U_i}_(iinI)$ una collezione di suoi sottinsiemi. $V$ si dice sottobase per $tau$ s le intersezioni finite di elementi di $V$ sono una base per $tau$

Provare che $V$ è una sottobase $hArr X sub uuu U_i$.

Da come lo scrivi sembra che una famiglia di sottoinsiemi di $X$ che sia un ricoprimento definisca sempre una sottobase. Sono sicuro che non intendi questo, anche perché è falso: prendi un insieme (per esempio i numeri reali $\mathbb R$) e il ricoprimento fatto dagli insiemi $[n,n+1]$ al variare di $n\in\mathbb Z$. Le intersezioni finite di aggeggi del genere sono il vuoto, o un singoletto $\{n\}$ per qualche $n$ (non esiste altra possibilità). Del resto è evidente che questi insiemi non formano una base di $\mathbb R$ manco per sbaglio una prebase (sottobase è un nome meno invalso) è fatta da tanti elementi.

[...] dati due elementi $U_1...U_n$

O sono due, o sono $n$

[...] si ha $nnn_(iinI)^n U_i=B$

Non ha alcun senso: \(\bigcap U_i\) è un sottoinsieme di $X$, cioè un elemento di \(2^X\); una base per una topologia su $X$ è un elemento di $2^{2^X}$. Anche le implicazioni che seguono sono insensate (o impossibili da interpretare: è evidente intendessi qualcosa di diverso da quello che hai scritto). Perciò: cosa intendevi?

[Leo S.]

Ciao. Ti chiedo scusa ma ancora non avevo idea di che cosa fosse un rivestimento (me lo sono cercato ora su wikipedia )

Il testo dell'esercizio è riportato pari pari dall'Esercizio 1.18 di questa dispensa: http://www.science.unitn.it/~occhetta/studenti/disp4fc.pdf

Il due mi è scappato, stavo scrivendo una cosa diversa inizialmente. Quello che intendevo, in soldoni, è di prendere un numero finito di elementi della collezione di sottoinsiemi $V={U_i}_(i in I)$ e prenderne la famiglia delle intersezioni finite: quello che si ottiene, per la definizione stessa di prebase, è una base per la topologia, denotata quindi con $nnn U_i=B$. Mi rendo conto che quest'ultima notazione è sbagliata ma non saprei come scriverlo...

[killing_buddha]

"Leo S.":Ciao. Ti chiedo scusa ma ancora non avevo idea di che cosa fosse un rivestimento (me lo sono cercato ora su wikipedia )

Ricoprimento. un rivestimento è una cosa molto diversa.

Quello che intendevo, in soldoni, è di prendere un numero finito di elementi della collezione di sottoinsiemi $V={U_i}_(i in I)$ e prenderne la famiglia delle intersezioni finite

Non devi affatto fare questo. Devi prendere le intersezioni finite di elementi di \(\mathcal U\), non le intersezioni finite di un numero finito di elementi di \(\mathcal U\).

Mi rendo conto che quest'ultima notazione è sbagliata ma non saprei come scriverlo...

Per esempio puoi denotare
\[
\mathcal U^\land := \{ U_{i_1}\cap U_{i_2}\cap\dots\cap U_{i_n} \mid U_{i_k}\in\mathcal U, \; n\ge 0, \; i_1,\dots, i_n \in I \}
\] la chiusura di \(\mathcal U\) per intersezioni finite. E analogamente puoi denotare
\[
\mathcal U^\cup := \left\{\bigcup_{j\in J} U_j \mid U_j \in \mathcal U, \; J\subseteq I\right\}
\] la chiusura di \(\mathcal U\) per unioni arbitrarie.

[Leo S.]

Ok, allora forse è meglio fare un passo indietro sulla definizione di intersezioni finite. E' sbagliato dire che un'intersezione finita è l'intersezione di una famiglia finita di elementi di un insieme? E che quello che voglio avere io è la famiglia di queste intersezioni finite?

L'ho intesa in questo modo partendo dalla proprietà della topologia di essere chiusa per intersezioni finite, cioè dati $n$ elementi $A_1,...,A_n$ della topologia, per ogni scelta di $n$ $A_1nn...nnA_nin tau$.

Una base è invece data dall'insieme di tutte le possibili intersezioni finite degli elementi della prebase al variare di $n$.

Quindi la differenza è che nel primo caso ogni intersezione finita di aperti mi dà un aperto nella topologia, mentre nel secondo devo prendere tutte le intersezioni finite per avere una base della topologia. Nel primo ho un insieme, nel secondo una famiglia di insiemi.

Questo è corretto?

Dunque quello che voglio fare a questo punto è costruire una base $B$ a partire dalla prebase $V$ fatta di insiemi $U_i$ prendendone le intersezioni finite, per avere $B={nnn_(i=1)^n U_i | U_i in V, forall i=1,...,n | n in NN}$