Sottile/Banale dubbio circa una quadrica
Esercizi di Geometria Proiettiva. Molto classici. Data una quadrica $Q$ di $mathbbP^3(mathbbR)$, mi è chiesto di costruire una proiettività $F$ che (si presume) debba soddisfare alla richiesta $F(Q)=Q$ più il fatterello di mandare un punto di $Q$ in un suo altro punto dato.
Bene, arrivo alla mia brava espressione di $F$ e arrivo a dover testare se ineffetti vale $F(Q)=Q$.
A questo punto, guardo gli appunti: "Preso un qualsiasi $P∈Q$ mi calcolo $F(P)$ e vedo se è un punto della quadrica."
Ma questo, secondo me, mi garantisce solo $F(Q)⊂Q $!! NON anche l'inclusione inversa.
Dacchè le proiettività sono bigezioni, allora mi ero convinto del fatto che la motivazione fosse la seguente:
In generale,
Data $f:X->X$ una BIGEZIONE, allora se $Q subset X$ è tale che $f(Q) subset Q$ allora vale anche $Q subset f(Q)$ ovvero quindi l'uguaglianza.
Ma pare questa affermazione non sia in generale vera (Anche senza essermi messo alla ricerca di un controesempio, sono convinto del fatto che non sia vera (asserto suggeritomi dall'utente Rigel), perchè non sono riuscito a dimostrarla nonostante svariati tentativi.. Ok non è un dato.. Ma.. A naso ci sto, eccome se ci sto!) e se non è vera, di certo non è la motivazione per cui ci basta un'inclusione, nell'esercizio sopra.
Riassumendo: E' per caso ovvia l'inclusione $Q subset F(Q)$ ??
Se sì ( o se NO), perchè?
Che ne pensate? Io ci annuso tanta ovvietà... Ma non riesco a vederla.
Grazie!
P.S. E' un modo di archiviare gli esercizi che ho incontrato anche per le affinità, quindi, non è una questione di geometria proiettiva, volendo neanche di geometria, per questo il post svolazza anche nella sezione di Analisi.
Bene, arrivo alla mia brava espressione di $F$ e arrivo a dover testare se ineffetti vale $F(Q)=Q$.
A questo punto, guardo gli appunti: "Preso un qualsiasi $P∈Q$ mi calcolo $F(P)$ e vedo se è un punto della quadrica."
Ma questo, secondo me, mi garantisce solo $F(Q)⊂Q $!! NON anche l'inclusione inversa.
Dacchè le proiettività sono bigezioni, allora mi ero convinto del fatto che la motivazione fosse la seguente:
In generale,
Data $f:X->X$ una BIGEZIONE, allora se $Q subset X$ è tale che $f(Q) subset Q$ allora vale anche $Q subset f(Q)$ ovvero quindi l'uguaglianza.
Ma pare questa affermazione non sia in generale vera (Anche senza essermi messo alla ricerca di un controesempio, sono convinto del fatto che non sia vera (asserto suggeritomi dall'utente Rigel), perchè non sono riuscito a dimostrarla nonostante svariati tentativi.. Ok non è un dato.. Ma.. A naso ci sto, eccome se ci sto!) e se non è vera, di certo non è la motivazione per cui ci basta un'inclusione, nell'esercizio sopra.
Riassumendo: E' per caso ovvia l'inclusione $Q subset F(Q)$ ??
Se sì ( o se NO), perchè?
Che ne pensate? Io ci annuso tanta ovvietà... Ma non riesco a vederla.
Grazie!
P.S. E' un modo di archiviare gli esercizi che ho incontrato anche per le affinità, quindi, non è una questione di geometria proiettiva, volendo neanche di geometria, per questo il post svolazza anche nella sezione di Analisi.
Risposte
Riflettendoci a mente fresca credo basti provare che $F^-1(Q) subset Q$ ...cosa abbastanza fattibile dato che ho l'espressione di $F$. Se qualcuno a tmepo perso vuole darmi una conferma, è sempre ben accetta!
Da una rapida lettura, preso \(P\in Q\) devi dimostrare che \(F(P)\in Q\) cosicché \(F(Q)\subseteq Q\) e che \(F^{-1}(P)\in Q\) mutati mutandis \(Q\subseteq F(Q)\).
Certo certo.. Era molto molto smeplice alla fine, purtroppo mi convincevo di poter trovare una motivazione più elegante che mi riducesse il numero di calcoli da due a uno, magari usando la bigettività di $F$, ma.. Sollo velleità.. Anche perchè noi abbiamo la legge di $Q$, quindi provare che qualcosa sia contenuto in $Q$ è immediato. Perchè non farlo?
Grazie mille!
Grazie mille!
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