Somme dirette

[anthoni1]

Uno spazio vettoriale V ha sempre dei sottospazi vettoriali? e se ne ha uno, allora ne ha infiniti?
V è sempre esprimibile come somma diretta di due sottospazi? (cioè, qualsiasi spazio vettoriale è somma diretta?)
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Ok, grazie.

[maurer]

Quante domande!

Ti invito a specificare un po' meglio le ipotesi. Ad esempio: [tex]V[/tex] è spazio vettoriale su quale campo? Un campo di caratteristica 0, oppure un campo di caratteristica p (p primo). E il campo è finito o infinito? E la dimensione è finita o infinita?
Sono tutti elementi necessari a dare una risposta esauriente alle tue domande.

[Matthia2]

Intanto provo lo stesso a rispondere io.

Uno spazio vettoriale ha sempre almeno due sottospazi banali, lui stesso e il sottospazio nullo, che contiene solo lo zero del sottospazio di partenza. Dopo ce ne possono anche essere degli altri non banali, dipende da molti fattori (vedi post precedente).
Per la seconda domanda, il fatto che esista un sottospazio non implica che ne esistano infiniti. Ad esempio, se consideri una retta di R2, i suoi sottospazi sono la retta stessa e l'origine (il sottospazio nullo); dopo che tu per ogni retta possa dare infinite rappresentazioni tramite generatori, ottenuti uno dall'altro moltiplicando per scalare non nullo, quello è un altro discorso. Invece se consideri R2, pensalo graficamente, è un piano con infiniti sottospazi, l'origine, lui stesso e tutte le rette che passano per l'origine. Il caso va discusso di volta in volta.

Terza domanda: se pensi ad uno spazio vettoriale non nullo (caso banale), puoi sempre trovare una base; per trovare due suoi sottospazi che siano in somma diretta basta "spezzare la base in due" e considerare i due sottospazi generati dai due insiemi di generatori; al limite, se lo spazio ha dimensione uno, puoi sempre considerare il fatto che ogni spazio vettoriale è sempre somma diretta di se stesso più il sottospazio nullo.