Somma tra vettori ortogonali
Buonasera a tutti.
Oggi scrivo qui perchè ho disperato bisogno di aiuto con questo esercizio, dato che lunedì avrò un esame di algebra e geometria lineare su tale argomento.
Il testo è:
Dato il sottospazio U = [formule][formule]{(x, y, z, t) ∈ R^4| x = y + z, z = x + t}, trovare U⊥.
Scrivere il vettore(1, 0, 0, 0) come somma v1 + v2, dove v1 ∈ U e v2 ∈ U⊥.
[Risp.: U ha base (1, 1, 0, −1),(0, −1, 1, 1)
e quindi U⊥ = {x + y = t, y = z + t}, v1 =1/5(3, 1, 2, −1), v2 =1/5(2, −1, −2, 1)].
La base U e la base U⊥ sono riuscita a trovarle, ma poi non capisco come si trovino v1 e v2.
Devo per caso ortonormalizzare le 2 basi prima?
Grazie per l'aiuto
Oggi scrivo qui perchè ho disperato bisogno di aiuto con questo esercizio, dato che lunedì avrò un esame di algebra e geometria lineare su tale argomento.
Il testo è:
Dato il sottospazio U = [formule][formule]{(x, y, z, t) ∈ R^4| x = y + z, z = x + t}, trovare U⊥.
Scrivere il vettore(1, 0, 0, 0) come somma v1 + v2, dove v1 ∈ U e v2 ∈ U⊥.
[Risp.: U ha base (1, 1, 0, −1),(0, −1, 1, 1)
e quindi U⊥ = {x + y = t, y = z + t}, v1 =1/5(3, 1, 2, −1), v2 =1/5(2, −1, −2, 1)].
La base U e la base U⊥ sono riuscita a trovarle, ma poi non capisco come si trovino v1 e v2.
Devo per caso ortonormalizzare le 2 basi prima?
Grazie per l'aiuto
Risposte
In bocca al lupo per l'esame
Grazie 
anche se la risoluzione dell'esercizio mi sarebbe più utile LOL
anche se la risoluzione dell'esercizio mi sarebbe più utile LOL
Ma non hai dato l'esame ieri?
Una base del sottospazio U la puoi trovare parametrizzando le equazioni cartesiane:
$ U:{( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
Ora volendo puoi trovare una base di $U^(_|_)$ cercando il kernel di $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , -1 ) ) $
oppure semplicemente notare che $ U:{ ( x-y-z=0 ),( x-z+t=0 ):} $ significa che entrambi i piani contengono i vettori perpendicolari rispettivamente a $ ( 1 \ \ -1 \ \ -1 \ \ 0 ) $ e $ ( 1 \ \ 0 \ \ -1 \ \ 1 ) $ e quindi l'iperpiano U è perpendicolare ad essi: ergo formano una base per $U^(_|_)$.
A questo punto risolvi il sistema $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) )=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ per trovare la combinazione lineare dei 4 vettori che inseme formano una base di $RR^4$ ovvero $ { ( a=2/5 ),( b=c=d=1/5 ):} $
Le prime due colonne sono la base di $U$ per cui $ v_1=2/5( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )=( ( 3/5 ),( 1/5 ),( 2/5 ),( -1/5 ) ) $
Le ultime due colonne sono la base di $U^(_|_)$ per cui $ v_2=1/5( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=( ( 2/5 ),( -1/5 ),( -2/5 ),( 1/5 ) ) $
$v_1+v_2=(1,0,0,0)$ e $v_1*v_2=0$
Una base del sottospazio U la puoi trovare parametrizzando le equazioni cartesiane:
$ U:{( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + beta( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $
Ora volendo puoi trovare una base di $U^(_|_)$ cercando il kernel di $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , -1 ) ) $
oppure semplicemente notare che $ U:{ ( x-y-z=0 ),( x-z+t=0 ):} $ significa che entrambi i piani contengono i vettori perpendicolari rispettivamente a $ ( 1 \ \ -1 \ \ -1 \ \ 0 ) $ e $ ( 1 \ \ 0 \ \ -1 \ \ 1 ) $ e quindi l'iperpiano U è perpendicolare ad essi: ergo formano una base per $U^(_|_)$.
A questo punto risolvi il sistema $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) )( ( a ),( b ),( c ),( d ) )=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ per trovare la combinazione lineare dei 4 vettori che inseme formano una base di $RR^4$ ovvero $ { ( a=2/5 ),( b=c=d=1/5 ):} $
Le prime due colonne sono la base di $U$ per cui $ v_1=2/5( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )=( ( 3/5 ),( 1/5 ),( 2/5 ),( -1/5 ) ) $
Le ultime due colonne sono la base di $U^(_|_)$ per cui $ v_2=1/5( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )+1/5( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=( ( 2/5 ),( -1/5 ),( -2/5 ),( 1/5 ) ) $
$v_1+v_2=(1,0,0,0)$ e $v_1*v_2=0$
Grazie mille, sei stato/a gentilissimo/a
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