Somma e prodotto diretti
Ciao a tutti! Ho appena finito il capitolo di algebra lineare sugli spazi vettoriali, e non riesco a "figurarmi" la nozione di somma diretta ESTERNA (non quella "normale" eh 
), e quella di prodotto diretto.
Ancora, non mi serve una definizione formale, che ho ed è comprensibile, ma un qualche esempio concreto che mi possa aiutare a visualizzarla, visto che a questo argomento il mio libro dedica solo 8 righe contate!
Se mi rispondeste, ve ne sarei molto grato. Ciao!
), e quella di prodotto diretto.Ancora, non mi serve una definizione formale, che ho ed è comprensibile, ma un qualche esempio concreto che mi possa aiutare a visualizzarla, visto che a questo argomento il mio libro dedica solo 8 righe contate!
Se mi rispondeste, ve ne sarei molto grato. Ciao!
Risposte
Non vorrei sbagliarmi ma se non mi sbaglio con somma diretta esterna si intende quando la somma avviene tra spazi non contenuti un uno spazio più grande, mentre per interna quando gli spazi sono sottospazi. Interna ed esterna però si può omettere quasi da subito perché si dimostra che le due cose sono equivalenti a meno di isomorfismo.
Devo dire che la distinzione tra somma diretta e prodotto diretto l'ho vista solo tra i gruppi e le due nozioni coincidono se la famiglia su cui si fa la somma o il prodotto è finita. Credo che il cambio di struttura algebrica non cambi molto la definizione... La differenza sta "solo" nel fatto che il prodotto diretto ammette che ci possa essere la somma di un numero infinito di elementi, mentre la somma diretta è solo tra un insieme finito (anche se la famiglia può essere infinita)
Devo dire che la distinzione tra somma diretta e prodotto diretto l'ho vista solo tra i gruppi e le due nozioni coincidono se la famiglia su cui si fa la somma o il prodotto è finita. Credo che il cambio di struttura algebrica non cambi molto la definizione... La differenza sta "solo" nel fatto che il prodotto diretto ammette che ci possa essere la somma di un numero infinito di elementi, mentre la somma diretta è solo tra un insieme finito (anche se la famiglia può essere infinita)
mhmm... con "non contenuti in uno spazio più grande" dici che non sono sottospazi di uno stesso SV? E poi dici che il prodotto diretto è la stessa cosa se l'insieme è finito?
Ma il tuo libro non ha scritto le definizioni?
Una somma diretta esterna è definita sul prodotto cartesiano dei due spazi, mente la somma diretta interna è definita all'interno di uno spazio più grande.
Il prodotto diretto di una famiglia di spazi ${S}_{J}$ dove $J$ è l'insieme degli indici è l'insieme delle funzioni da $J$ a $US_j$ tale che $j\mapsto s_j \in S_J$. L'operazione è definita membro a membro.
La somma diretta generalizzata è definita in modo simile sempre prendendo ${S}_J$, la somma diretta è il sottoinsieme del prodotto diretto tale che solo un insieme finito di elementi di $J$ sono mappati ad un elemento diverso da $0$.
Una somma diretta esterna è definita sul prodotto cartesiano dei due spazi, mente la somma diretta interna è definita all'interno di uno spazio più grande.
Il prodotto diretto di una famiglia di spazi ${S}_{J}$ dove $J$ è l'insieme degli indici è l'insieme delle funzioni da $J$ a $US_j$ tale che $j\mapsto s_j \in S_J$. L'operazione è definita membro a membro.
La somma diretta generalizzata è definita in modo simile sempre prendendo ${S}_J$, la somma diretta è il sottoinsieme del prodotto diretto tale che solo un insieme finito di elementi di $J$ sono mappati ad un elemento diverso da $0$.
Ok grazie. Sul mio libro c'è scritta la definizione di somma diretta esterna, mentre il prodotto diretto è solo accennato dopo, ma quella parte è scritta male (parlando di Italiano) molto equivoche e assolutamente non precise.
Quello che cercavo era un esempio che mi aiutasse a visualizzare il tutto.
Quello che cercavo era un esempio che mi aiutasse a visualizzare il tutto.
"Gauss91":
Ok grazie. Sul mio libro c'è scritta la definizione di somma diretta esterna, mentre il prodotto diretto è solo accennato dopo, ma quella parte è scritta male (parlando di Italiano) molto equivoche e assolutamente non precise.
Quello che cercavo era un esempio che mi aiutasse a visualizzare il tutto.
Hai fatto le serie di potenze formali? Beh, se le hai fatte le potenze formali stanno ai polinomi come il prodotto diretto sta alla somma diretta...
Sìsì so cosa sono le serie formali di potenze. Questo già mi chiarifica un po' le idee! 
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