Somma e intersezione sottospazi
devo risolvere un problema di geometria sugli spazi vettoriali:
sia A=[(x,y,z,w)Ix-y+z-w=0] e B=[(t+s,2s,t,t+s)I con t,s appartenenti ai reali]
devo trovare:
1-una forma cartesiana per B
2-una base di A
3-una base di B
4-una base di (A+B)
5-una base di (A intersez. B)
1-ho impostato il sistema lineare [(1,1),(0,2),(1,0),(1,1)]*(t,s)= (x,y,z,w) dove quella tra parentesi quadre è la matrice con le parentesi tonde come righe.
ho ridotto per righe e ho trovato una forma cartesiana che individuava un vettore di questo tipo: (x,y,x-(1/2)y,x).
2-ho considerato il vettore (y-z+w,y,z,w) e ne ho scritto la base: (1,1,,0,0) , (-1,0,1,0) , (1,0,0,1).
3-ho considerato il vettore precedente e ho scitto la base (1,0,1,1) , (0,1,(-1/2),0)
4-qui mi blocco. Infatti so che un generico elemento c appartenente a (A+B) si scrive come combinazione lineare di un elemento di A e uno di B. Quindi c è somma di una combinazione lineare della base di A e di una combinazione lineare della base di B.
Quindi l'unione insiemistica della base di A e la base di B dovrebbe essere un insieme di generatori.
Ma unendo i le due basi mi viene fuori un insieme di 5 vettori linearmente indipendenti tra loro. com'è possibile che dim(A+B)=5? sarebbe maggiore della dimensione di R^4 (di cui i due insiemi sono sottospazi). c'è qualcosa che non torna spero mi riusciate ad aiutare...
sia A=[(x,y,z,w)Ix-y+z-w=0] e B=[(t+s,2s,t,t+s)I con t,s appartenenti ai reali]
devo trovare:
1-una forma cartesiana per B
2-una base di A
3-una base di B
4-una base di (A+B)
5-una base di (A intersez. B)
1-ho impostato il sistema lineare [(1,1),(0,2),(1,0),(1,1)]*(t,s)= (x,y,z,w) dove quella tra parentesi quadre è la matrice con le parentesi tonde come righe.
ho ridotto per righe e ho trovato una forma cartesiana che individuava un vettore di questo tipo: (x,y,x-(1/2)y,x).
2-ho considerato il vettore (y-z+w,y,z,w) e ne ho scritto la base: (1,1,,0,0) , (-1,0,1,0) , (1,0,0,1).
3-ho considerato il vettore precedente e ho scitto la base (1,0,1,1) , (0,1,(-1/2),0)
4-qui mi blocco. Infatti so che un generico elemento c appartenente a (A+B) si scrive come combinazione lineare di un elemento di A e uno di B. Quindi c è somma di una combinazione lineare della base di A e di una combinazione lineare della base di B.
Quindi l'unione insiemistica della base di A e la base di B dovrebbe essere un insieme di generatori.
Ma unendo i le due basi mi viene fuori un insieme di 5 vettori linearmente indipendenti tra loro. com'è possibile che dim(A+B)=5? sarebbe maggiore della dimensione di R^4 (di cui i due insiemi sono sottospazi). c'è qualcosa che non torna spero mi riusciate ad aiutare...
Risposte
per quanto riguarda il punto 1 la rappresentazione cartesiana è un sistema di 2 equazioni nelle 4 incognite $x,y,z,w$
considerando che la matrice $ ( ( 1 , 1 , x ),( 0 , 2 , y ),( 1, 0 , z ),( 1 , 1 , w) ) $
può essere ridotta nella matrice
$ ( ( 1 , 1 , x ),( 0 , 2 , y ),( 0, -1 , z-x ),( 0, 0 , w-x ) ) $
orlando il minore
$ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) $
la matrice ha rango 2 se
$2z-2x+y=0$
$w-x=0$
queste 2 equazioni costituiscono il sistema cercato
per il punto 4,se almeno uno dei 2 vettori della base di $B$ non è generato dalla base di $A$ si ha $A+B=mathbbR^4$
altrimenti,$A+B=A$
considerando che la matrice $ ( ( 1 , 1 , x ),( 0 , 2 , y ),( 1, 0 , z ),( 1 , 1 , w) ) $
può essere ridotta nella matrice
$ ( ( 1 , 1 , x ),( 0 , 2 , y ),( 0, -1 , z-x ),( 0, 0 , w-x ) ) $
orlando il minore
$ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) $
la matrice ha rango 2 se
$2z-2x+y=0$
$w-x=0$
queste 2 equazioni costituiscono il sistema cercato
per il punto 4,se almeno uno dei 2 vettori della base di $B$ non è generato dalla base di $A$ si ha $A+B=mathbbR^4$
altrimenti,$A+B=A$
Perdonami ma non ho capito!
nessuno dei due vettori della base di B è generato dalla base di A perchè sono tutti e 5 vettori L.I. qual'è la base?
sorry ancora
nessuno dei due vettori della base di B è generato dalla base di A perchè sono tutti e 5 vettori L.I. qual'è la base?
sorry ancora
allora,in $mathbbR^4$ non puoi avere 5 vettori linearmente indipendenti
se nessuno dei 2 è generato dalla base di $A$ vuol dire che ,preso uno qualsiasi di questi 2,se lo unisci ai vettori della base di $A$ ottieni una base di $mathbbR^4$
quindi $A+B=mathbbR^4$
se nessuno dei 2 è generato dalla base di $A$ vuol dire che ,preso uno qualsiasi di questi 2,se lo unisci ai vettori della base di $A$ ottieni una base di $mathbbR^4$
quindi $A+B=mathbbR^4$
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