Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

[FrAnZkAfKa]

Salve, ho difficoltà con questo esercizio:
In M2,2 (R) si considerino i sottospazi vettoriali:
$ U = L $ $ [ ( ( 1 , 2 ),( -1 , 0 ) ) \ \ ( ( 1 , 1 ),( 0 , -1 ) ) \ \ ( ( 3 , 4 ),( -1 , -2 ) ) \ \ ( ( -1 , 1 ),( -2 , 3 ) ) ] $

$ W= L $ $ [ ( ( 2 , 3 ),( -1 , -1 ) ) \ \ ( ( 2 , 2 ),( 0 , -2 ) ) ] $

1) Determinare se $ U+W $ è una somma diretta ed una sua base;
2) Determinare $ U $ $ nn $ $ W $e una sua base.
(Utilizzare l' isomorfismo coordinato rispetto alla base canonica) $ B = $ $ [ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) \ \ ( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) \ \ ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) \ \ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ] $

Ho riscritto le matrici utilizzando l' isomorfismo coordinato.
Io ho messo i vettori per righe ma non so se vadano messi in colonne.

$ U= $ $ [ ( 1 , 2 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , -1 ),( 3 , 4 , -1 , -2 ),( -1 , 1 , -2 , 3 ) ] $ $ -> $ $ [ ( 1 , 2 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , -2 , 2 , -2 ),( 0 , 3 , -3 , 3 ) ] $
Da cui stabilisco che $ dimU=2 $

$ W= $ $ [ ( 2 , 3 , -1 , -1 ),( 2 , 2 , 0 , -2 ) ] $ $ -> $ $ [ ( 2 , 3 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ) ] $
Da cui stabilisco che $ dimW=2 $

Adesso ho messo in sistema i primi 2 vettori di U con quelli di W, per ottenere U+W

$ = $ $ [ ( 1 , 2 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 2 , 3 , -1 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ) ] $ $->$ $ [ ( 1 , 2 , -1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ) ] $
E quindi $ dimU+W=2 $

Con Grassman posso dire che è $dim U nn W = 2$ e quindi non è una somma diretta
Per una base considero il sistema $ { ( x+2y-z=0 ),( -y+z-t=0 ),( z=h ),( t=k ):} $ $->$ $ { ( x=-h+2k ),( y=h-k ),( z=h ),( t=k ):} $
Allora l' insieme è $A={h(-1;1;1;0)+k(2;-1;0;1)}$
da cui ricavo facilmente una base.
Non so quali e quante cavolate ho fatto...

E per l' intersezione come devo procedere??

[FrAnZkAfKa]

Nessuno può aiutarmi?

Per l' intersezione ho provato in questo modo:

$ a(1,2,-1,0)+b(1,1,0,-1) = c(2,3,-1,-1)+d(2,2,0,-2) $

Ottenendo
$ { ( a+b=2c+2d ),( 2a+b=3c+2d ),( -a=-c ),( -b=-c-2d ):} $

Ma non so come procedere

[vlander]

Una base di $U+W$ la hai trovata quando hai ridotto per righe l'unione delle basi dei due spazi, ed è $((1,2),(-1,0)), ((0,-1),(1,-1))$.

Questo esercizio è particolarmente semplice se guardi le dimensioni, infatti hai che sia $U$ che $W$ sono sottospazi di $U+W$ e che hanno la sua stessa dimensione, quindi $U = U+W = W$.

Analogamente, $U \cap W$ è un sottospazio sia di $U$ che di $W$ ed ha la loro stessa dimensione, quindi $U = U \cap W = W$.

Per una base considero il sistema $ { ( x+2y-z=0 ),( -y+z-t=0 ),( z=h ),( t=k ):} $ $->$ $ { ( x=-h+2k ),( y=h-k ),( z=h ),( t=k ):} $

Questo è sbagliato. Quello che hai trovato è l'ortogonale, ma non c'entra nulla.

La situazione in cui hai basi di due spazi è vuoi trovare la base della somma è quella più facile, perché la somma è generata dall'unione delle basi quindi effettuando operazioni elementari, cioè operazioni elementari sulle righe della matrice che ha nelle righe le coordinate dei vettori, puoi trovare subito una base.

L'intersezione è un pizzico più brutta. Continuando da dove ti sei fermato nell'ultimo post, se risolvi quel sistema in $a$ e $b$ trovi che è equivalente a

${(a=c),(b=c+2d):}$

Questo vuol dire che ogni elemento di $W$ può essere scritto come combinazione lineare degli elementi di $U$ e quindi l'intersezione, che consiste degli elementi di $W$ che appartengono anche a $U$, è uguale a $W$ e hai che una sua base è data da una base di $W$. Questo è ovviamente coerente con quanto detto prima.

[vict85]

Ogni tanto ho l'impressione che a furia di procedere in modo meccanico si dimentichino di dirvi che dovete ragionare su ciò che vi trovate davanti.

Scrivo \(\displaystyle U = \mathcal{L}\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \} \) e \(\displaystyle W = \mathcal{L}\{ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \} \).

Guardando semplicemente i valori dei vettori \(\displaystyle \{\mathbf{u}_i\} \) e \(\displaystyle \{\mathbf{w}_j\} \) si nota immediatamente che \(\displaystyle \mathbf{w}_2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 2\mathbf{u}_2 \). Pertanto \(\displaystyle \mathbf{w}_2 \in U\cap W \) e quindi \(\displaystyle U+W \) non è diretto.
Con uno sguardo un pochino più attendo si vede inoltre che \(\displaystyle \mathbf{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \) e quindi anche \(\displaystyle \mathbf{w}_1 \in U\cap W \). Ma allora \(\displaystyle W\subseteq U \). Pertanto si deve avere \(\displaystyle W + U = U \) e \(\displaystyle U\cap W = W \).

Siccome \(\displaystyle \mathbf{w}_2 \neq \lambda\mathbf{w}_1\) per ogni \(\lambda\in \mathbf{R}\) allora \(\displaystyle \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\} \) è una base di \(\displaystyle W = U\cap W \).

Nota che sai per certo che \(\displaystyle \dim U \ge \dim W = 2 \) ed è immediato che \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} \) sono indipendenti e generano, anch'essi, lo spazio \(\displaystyle W\subset U \) (nota che sono una base diversa di \(\displaystyle W = U\cap W \) e che quindi avrei potuto usare loro prima).

Per concludere bisogna trovare la dimensione di \(\displaystyle W \). Il metodo che hai usato va benissimo per farlo e vedi che \(\displaystyle \dim U = 2 = \dim W \). Siccome però W\subseteq U allora si deve avere per forza \(\displaystyle W = U \) e \(\displaystyle U + W = U = W = U\cap W \). Nota che le seguenti sono basi \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_3\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_4\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{w}_1\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_1, \mathbf{w}_2\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_4\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_2, \mathbf{w}_1\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_3, \mathbf{w}_1\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_3, \mathbf{w}_2\} \), \(\displaystyle \{\mathbf{u}_4, \mathbf{w}_1\} \) e \(\displaystyle \{\mathbf{u}_4, \mathbf{w}_2\} \). Ovviamente ogni altra combinazione lineare degli stessi che formi due vettori linearmente indipendenti.

[FrAnZkAfKa]

Vi ringrazio. Mi avete dato un grande aiuto