Somma e intersezione di sottospazi
Ri scrivo ancora per un altro esercizio che ho finito, solo che non ho i risultati per capire se ho ottenuto le soluzioni giuste o ho sbagliato da qualche parte quindi mi appello ancora a qualcuno che volesse dare una occhiata e dirmi se ho fatto giusto.
è un esercizio un po lungo ma confido nel commento di qualcuno ( spero positivo )
grazie in anticipo
il quesito è il seguente:
Siano assegnati in $RR^3$ i seguenti vettori:
$v_1=(1,0,-1)$
$v_2=(0,1,-1)$
$v_3=(0,0,2)$
Sia $f:RR^3toRR^3$ l'applicazione lineare definita da $((0,h,0),(h,0,0),(1/2(h-1),h-1,2))$
( se non si capisce bene l'ultima riga è .... $1/2(h-1)$ ......$h-1$ ....$2$
Dati $V=\beta(v_1,v_2)$ e dato $W=\beta(f(v_1),f(v_2))$, studiare determinando dimensione, equazioni caratteristiche e una base di $V$ , $W$, $VnnW$, $V+W$
per prima cosa mi trovo la $f$, nel mio caso ho : $f(x,y,z) = (hy,hx,1/2(h-1)x+(h-1)y+2z)$
fatto questo per prima cosa mi calcolo $f(v_1)$ e $f(v_2)$ e ho che :
$f(v_1)=(0,h,1/2(h-1)-2)$
$f(v_2)=(h,0,h-3)$
Studio prima il sottospazio vettoriale $V$
verifico che i vettori $v_1$ e $v_2$ siano linearmente indipendenti, metto in matrice i vettori $((1,0),(0,1),(-1,-1))$
riducendo ottengo la matrice di rango $2$ che è questa $((1,0),(0,1),(0,0))$
da cui quindi traggo che $DimV=2$
una base di $V$ è formata dai vettori $\beta={(1,0,-1),(0,1,-1)}$
l'equazione caratteristica di $V$ è $x+y+z=0$
adesso invece devo studiare $W$:
La prima cosa che faccio è verificare la dimensione di $W$ al variare di $hinRR$
metto in matrice i vettori che generano $W$ $((0,h),(h,0),(1/2(h-1)-2,h-3))$, e verifico la indipendenza lineare.
anche a occhio vedo che, per $h=0$ la $DimW=1$ e che invece per $h!=0$ la $DimW=2$
quindi adesso calcolo $W$ per entrambi i casi
per $h=0$ ho che:
$DimW=1$
una base è $\beta={(0,0,-3)}$
l'equazione caratteristica è $x=y=0$
per $h!=0$ e in particolar caso io ho provato per $h=1$ ho che
$DimW=2$
una base è $\beta={(0,1,-2),(1,0,-2)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z/2=0$
finito di calcolare $V$ e $W$ adesso passo a calcolare la somma $V+w$ ...
per il caso $h=0$ ho che:
$Dimv=2$
$DimW=1$
per trovare la dimensione dello spazio somma metto a matrice i vettori basi di entrambi i sottospazi e riduco tale matrice per calcolarne il rango
quindi dalla matrice dei vettori $((1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,3))$ riducendo ottengo la matrice $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$
il rango di tale matrice è 3 quindi ho che:
$DimV+W=3$
una base è$\beta={(1,0,-1),(0,1,-1),(0,0,3)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z=0$
per il caso $h!=0$ ( per $h=1$ nel mio caso ) ho che:
$Dimv=2$
$DimW=2$
per trovare la dimensione dello spazio somma metto a matrice i vettori basi di entrambi i sottospazi e riduco tale matrice per calcolarne il rango
quindi dalla matrice dei vettori $((1,0,0,1),(0,1,1,0),(-1,-1,-2,-2))$ che riducendo diventa $((1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,-1,-1))$
il rango di questa matrice è 3 quindi ho che:
$DimV+W=3$
una base è$\beta={(1,0,-1),(0,1,-1),(0,1,-2)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z=0$
Adesso passo a calcolare dimensione, una base e l'equazione caratteristica di $VinW$ per entrambi i casi di $h=0$ e $h!=0$
per $h=0$
metto a sistema le equazioni caratteristiche dei due sottospazi $V$ e $W$ $\{(x+y+z=0),(x=0),(y=0):}$
da cui ricavo che l'unica soluzione del sistema è $\{(x0),(y=0),(z=0):}$ quindi l'unico vettore che fa parte dell'intersezione è il vettore nullo $(0,0,0)$ per cui
$DimVinW=0$
una base è$\beta={(0,0,0)}$
l'equazione caratteristica è $x=y=z=0$
per $h!=0$ (nel mio caso per $h=1$ )
metto a sistema le equazioni caratteristiche dei due sottospazi $V$ e $W$ $\{(x+y+z=0),(2x+2y+z=0):}$ da cui ricavo $\{(x=-y),(z=0):}$ ... ponendo $y=1$ ho ancora che la soluzione del sistema è:
$\{(x=-1),(y=1),(z=0):}$ quindi ho che:
$DimVinW=1$
una base è$\beta={(-1,1,0)}$
l'equazione caratteristica è $x+y=0 , z=0$
con questo credo di aver finito
so che è lungo e che pochi avranno voglia di correggerlo, ma non si sa mai
grazie a chi mi dira se ho fatto bene o male e eventualmente mi dara qualche dritta per far piu veloce qualche passaggio o altro
è un esercizio un po lungo ma confido nel commento di qualcuno ( spero positivo )
grazie in anticipo
il quesito è il seguente:
Siano assegnati in $RR^3$ i seguenti vettori:
$v_1=(1,0,-1)$
$v_2=(0,1,-1)$
$v_3=(0,0,2)$
Sia $f:RR^3toRR^3$ l'applicazione lineare definita da $((0,h,0),(h,0,0),(1/2(h-1),h-1,2))$
( se non si capisce bene l'ultima riga è .... $1/2(h-1)$ ......$h-1$ ....$2$
Dati $V=\beta(v_1,v_2)$ e dato $W=\beta(f(v_1),f(v_2))$, studiare determinando dimensione, equazioni caratteristiche e una base di $V$ , $W$, $VnnW$, $V+W$
per prima cosa mi trovo la $f$, nel mio caso ho : $f(x,y,z) = (hy,hx,1/2(h-1)x+(h-1)y+2z)$
fatto questo per prima cosa mi calcolo $f(v_1)$ e $f(v_2)$ e ho che :
$f(v_1)=(0,h,1/2(h-1)-2)$
$f(v_2)=(h,0,h-3)$
Studio prima il sottospazio vettoriale $V$
verifico che i vettori $v_1$ e $v_2$ siano linearmente indipendenti, metto in matrice i vettori $((1,0),(0,1),(-1,-1))$
riducendo ottengo la matrice di rango $2$ che è questa $((1,0),(0,1),(0,0))$
da cui quindi traggo che $DimV=2$
una base di $V$ è formata dai vettori $\beta={(1,0,-1),(0,1,-1)}$
l'equazione caratteristica di $V$ è $x+y+z=0$
adesso invece devo studiare $W$:
La prima cosa che faccio è verificare la dimensione di $W$ al variare di $hinRR$
metto in matrice i vettori che generano $W$ $((0,h),(h,0),(1/2(h-1)-2,h-3))$, e verifico la indipendenza lineare.
anche a occhio vedo che, per $h=0$ la $DimW=1$ e che invece per $h!=0$ la $DimW=2$
quindi adesso calcolo $W$ per entrambi i casi
per $h=0$ ho che:
$DimW=1$
una base è $\beta={(0,0,-3)}$
l'equazione caratteristica è $x=y=0$
per $h!=0$ e in particolar caso io ho provato per $h=1$ ho che
$DimW=2$
una base è $\beta={(0,1,-2),(1,0,-2)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z/2=0$
finito di calcolare $V$ e $W$ adesso passo a calcolare la somma $V+w$ ...
per il caso $h=0$ ho che:
$Dimv=2$
$DimW=1$
per trovare la dimensione dello spazio somma metto a matrice i vettori basi di entrambi i sottospazi e riduco tale matrice per calcolarne il rango
quindi dalla matrice dei vettori $((1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,3))$ riducendo ottengo la matrice $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$
il rango di tale matrice è 3 quindi ho che:
$DimV+W=3$
una base è$\beta={(1,0,-1),(0,1,-1),(0,0,3)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z=0$
per il caso $h!=0$ ( per $h=1$ nel mio caso ) ho che:
$Dimv=2$
$DimW=2$
per trovare la dimensione dello spazio somma metto a matrice i vettori basi di entrambi i sottospazi e riduco tale matrice per calcolarne il rango
quindi dalla matrice dei vettori $((1,0,0,1),(0,1,1,0),(-1,-1,-2,-2))$ che riducendo diventa $((1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,-1,-1))$
il rango di questa matrice è 3 quindi ho che:
$DimV+W=3$
una base è$\beta={(1,0,-1),(0,1,-1),(0,1,-2)}$
l'equazione caratteristica è $x+y+z=0$
Adesso passo a calcolare dimensione, una base e l'equazione caratteristica di $VinW$ per entrambi i casi di $h=0$ e $h!=0$
per $h=0$
metto a sistema le equazioni caratteristiche dei due sottospazi $V$ e $W$ $\{(x+y+z=0),(x=0),(y=0):}$
da cui ricavo che l'unica soluzione del sistema è $\{(x0),(y=0),(z=0):}$ quindi l'unico vettore che fa parte dell'intersezione è il vettore nullo $(0,0,0)$ per cui
$DimVinW=0$
una base è$\beta={(0,0,0)}$
l'equazione caratteristica è $x=y=z=0$
per $h!=0$ (nel mio caso per $h=1$ )
metto a sistema le equazioni caratteristiche dei due sottospazi $V$ e $W$ $\{(x+y+z=0),(2x+2y+z=0):}$ da cui ricavo $\{(x=-y),(z=0):}$ ... ponendo $y=1$ ho ancora che la soluzione del sistema è:
$\{(x=-1),(y=1),(z=0):}$ quindi ho che:
$DimVinW=1$
una base è$\beta={(-1,1,0)}$
l'equazione caratteristica è $x+y=0 , z=0$
con questo credo di aver finito
so che è lungo e che pochi avranno voglia di correggerlo, ma non si sa mai
grazie a chi mi dira se ho fatto bene o male e eventualmente mi dara qualche dritta per far piu veloce qualche passaggio o altro
Risposte
Secondo me è corretto (non ho controllato i conti, ma il ragionamento è giusto). Semmai avresti potuto velocizzare certi passaggi utilizzando la formula di Grassmann. Ad esempio, quando nel caso \(h=0\) si aveva \(\mathrm{dim}(V)=2,\mathrm{dim}(W)=1\) e si trovava che \(\mathrm{dim}(V+W)=3\) era automatico concludere che \(\mathrm{dim}(V\cap W)=0\) per la formula di Grassmann.
grazie della risposta, sono contento di sapere almeno che i ragionamenti sono giusti, spero quindi il mio esame sia andato bene hehehe
comunque si in effetti avrei dovuto intuire subito per la formula di Grassman, grazie del consiglio
comunque si in effetti avrei dovuto intuire subito per la formula di Grassman, grazie del consiglio
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