Somma e intersezione di sottospazi

[lex1531]

$ W=(x,y,z,t) in R^4: x+y=t=0 $
$ H=(x,y,z,t) in R^4: z=0 $

determinare una base e la dimenzione di $ W, H, W+H, W nn H $

io ho provato a svolgerlo cosi:

W è del tipo $ (-y, y, z, 0) $ quindi ha dim 2 e una base è $ (-1,1,0,0) (0,0,1,0) $
H è del tipo $ (x, y, 0, t) $ quindi ha dim 3 e una base è $ ((1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,0,1) $
H+W è $ | ( -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) | $ ha rank 4 quindi dim H+W è 4 e la base è proprio la matrice identità

per $ W nn H $ uso grassman quindi
$ dim (W+H)= dim(W) + dim(H) + dim(W nn H) rarr dim(W+H)=-dim(W)-dim(H)+dim(H+W) $

è giusto?
o ho sbagliato tutto

[Antimius]

Attento all'ultimo passaggio:
[tex]$dim(W+H)=dim(W)+dim(H)-dim(W \cap H) \, \Leftrightarrow \, dim(W \cap H)= dim(W)+dim(H) - dim(W+H)$[/tex].

Il resto è giusto. Soltanto nota una cosa: [tex]$H+W$[/tex] a cosa è uguale? (Guarda la sua base).

[lex1531]

ops, errore di segno!

in che senso a cosa è uguale H+W??? io sapevo che sono i vettori lin. indip. della matrice creata dalle basi dei due sottospazi

[Antimius]

Nel senso che se la base di [tex]$H+W$[/tex] sono "le righe della matrice identità", cioè la base canonica di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex],...

[lex1531]

sisi avevo visto ... l'avevo anche scritto