Somma e intersezione di sottospazi
Denotata con $\beta_0=(e_i)_(1<=i<=5)$ la base canonica di $RR_5$, si considerinoi sottospazi $V=L(e_1,e_1-e_3)$ e $W=L(e_1,e_2,e_4)$; si determini la dimensione ed una base del sottospazio $VnnW$; si determinino inoltre, la dimensione ed equazioni cartesiane per il sottospazio $V+W$.
Nel caso della somma dei due sottospazo penso di operare creando la matrice dei vettori
$((1,1,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,-1,0,0,0),(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0))$
il rango di questa matrice è 4, quindi la dimensione della somma dovrebbe essere 4!! La base quindi è quella formata dai vettori linearmente indipendenti $V+W=L(e_1-e_3,e_1,e_2,e_4)$???
Per trovare l'equazioni cartesiane aggiungo il generico vettore $(x,y,z,w,t)$ ai vettori linearmente indipendenti??
E per l'intersezione da dove posso incominciare??? purtroppo non ho appunti miei, e non avendo seguito le ultime lezioni questo argomento mi è poco chiaro, scusate per la marea di domande!!!
Nel caso della somma dei due sottospazo penso di operare creando la matrice dei vettori
$((1,1,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,-1,0,0,0),(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0))$
il rango di questa matrice è 4, quindi la dimensione della somma dovrebbe essere 4!! La base quindi è quella formata dai vettori linearmente indipendenti $V+W=L(e_1-e_3,e_1,e_2,e_4)$???
Per trovare l'equazioni cartesiane aggiungo il generico vettore $(x,y,z,w,t)$ ai vettori linearmente indipendenti??
E per l'intersezione da dove posso incominciare??? purtroppo non ho appunti miei, e non avendo seguito le ultime lezioni questo argomento mi è poco chiaro, scusate per la marea di domande!!!
Risposte
Lo spazio somma $U+W=$ ed ma una sua base è costituita dai vettori linearmente indipendenti. E quindi (non ho controllato i calcoli) ma dovrebbe essere corretto.
Dalla formula di Grassman (che ti invito a guardare) si ha quindi che la dimensione dell'intersezione è $1$ ed infatti $UnnW={e_1}$
Dalla formula di Grassman (che ti invito a guardare) si ha quindi che la dimensione dell'intersezione è $1$ ed infatti $UnnW={e_1}$
Grazie per l'aiuto. Per quanto riguarda la formula di Grassman l'ho controllata, e viene la dimensione dell'intersezione proprio 1. Però per una base dell'intersezione e il calcolo delle equazioni della somma me ne sto andando un po' nel pallone
@sergio: ho visto quella teoria ed è molto ben fatta, complimenti!!! Anzi aggiungerei è migliore del libro che ho!!! La teoria diciamo che mi è quasi chiara è nell'applicazione negli esercizi che mi perdo
Appena puoi se ti va darmi qualche imput per proseguire sarei molto contento, grazie ancora!!!
@sergio: ho visto quella teoria ed è molto ben fatta, complimenti!!! Anzi aggiungerei è migliore del libro che ho!!! La teoria diciamo che mi è quasi chiara è nell'applicazione negli esercizi che mi perdo
Appena puoi se ti va darmi qualche imput per proseguire sarei molto contento, grazie ancora!!!
ma io la base dell'intersezione te l'ho trovata! è proprio il vettore $e_1$.
Per quanto riguarda l'equazione fai così: prendi un generico vettore $(x,y,z,t,w)inRR^5$ ed esprimilo come combinazione lineare dei vettori della base $U+W$. a questo punto risolvi cercando di ricavare le varie componenti e cercando di trovare delle relazioni tra loro.
Prova a risolverlo (non so se sono stato chiaro) e in caso contrario te lo mostro io!
Per quanto riguarda l'equazione fai così: prendi un generico vettore $(x,y,z,t,w)inRR^5$ ed esprimilo come combinazione lineare dei vettori della base $U+W$. a questo punto risolvi cercando di ricavare le varie componenti e cercando di trovare delle relazioni tra loro.
Prova a risolverlo (non so se sono stato chiaro) e in caso contrario te lo mostro io!
come hai fatto a dimostrare che una base è proprio il vettore $e_1$?
esprimendo il vettore generico come combinazione lineare dovrei ottenere (se non ho commesso una stupidagine):
$(x,y,z,t,w)=(\lambda_1+\lambda_2,\lambda_3,-\lambda_1,\lambda_4,0)$
esprimendo il vettore generico come combinazione lineare dovrei ottenere (se non ho commesso una stupidagine):
$(x,y,z,t,w)=(\lambda_1+\lambda_2,\lambda_3,-\lambda_1,\lambda_4,0)$
eguagliando abbiamo $w=0$. Questa è la nostra equazione.
Beh noi sappiamo che nell'intersezione c'è il vettore $e_1$ e sappiamo che la dimensione è $1$ quindi è l'unico vettore. Quindi l'intersezione è formata dai vettori nella forma $(x,0,0,0,0)$ al variare di $x$$inRR$. Quindi una base è $x(1,0,0,0,0)$ cioè il vettore $e_1$
Beh noi sappiamo che nell'intersezione c'è il vettore $e_1$ e sappiamo che la dimensione è $1$ quindi è l'unico vettore. Quindi l'intersezione è formata dai vettori nella forma $(x,0,0,0,0)$ al variare di $x$$inRR$. Quindi una base è $x(1,0,0,0,0)$ cioè il vettore $e_1$
Ancora grazie mille!!! I consigli mi sono stati molto utili!!!
Questo è un altro esercizio, volevo chiedere un po' di assistenza nello svolgerlo, in quanto ancora non mi sento sicuro!!!
Si considerino i seguenti vettori in $RR^4$
$\upsilon_1=(1,2,h,-1)$, $\upsilon_2=(1,h+4,3,-2)$, $\upsilon_3=(-1,0,3,h)$.
stabilire per quale valore del parametro $hinRR$ i tre vettori $\upsilon_1$, $\upsilon_2$, $\upsilon_3$ sono linearmente dipendenti. In corrispondenza di tale valore, si determini la dimensione ed una base del sottospazio $V=L(\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3)$. Considerato inoltre l'ulteriore sottospazio $W=L(w_1,w_2)$ di $RR^4$, ove $w_1=(1,4,3,-2)$ e $w_2=(0,0,0,1)$, si determini la dimensione ed una base per ciascuno dei sottospazi $VnnW$ e $V+W$.
Allora secondo i miei calcoli il parametro h per cui i vettori sono linearmente dipendenti è il valore 0. allora la dimensione del sottospazio V è 2 e una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_2$. Poi come posso procedere? Io ho pensato calcolando la dimensione e la base della somma, mettendo in matrice i vettori dei sottospazi V e W, poi tramite Grassman trovo la dimensione dell intersezione....ma per una base dell'intersezione???
Questo è un altro esercizio, volevo chiedere un po' di assistenza nello svolgerlo, in quanto ancora non mi sento sicuro!!!
Si considerino i seguenti vettori in $RR^4$
$\upsilon_1=(1,2,h,-1)$, $\upsilon_2=(1,h+4,3,-2)$, $\upsilon_3=(-1,0,3,h)$.
stabilire per quale valore del parametro $hinRR$ i tre vettori $\upsilon_1$, $\upsilon_2$, $\upsilon_3$ sono linearmente dipendenti. In corrispondenza di tale valore, si determini la dimensione ed una base del sottospazio $V=L(\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3)$. Considerato inoltre l'ulteriore sottospazio $W=L(w_1,w_2)$ di $RR^4$, ove $w_1=(1,4,3,-2)$ e $w_2=(0,0,0,1)$, si determini la dimensione ed una base per ciascuno dei sottospazi $VnnW$ e $V+W$.
Allora secondo i miei calcoli il parametro h per cui i vettori sono linearmente dipendenti è il valore 0. allora la dimensione del sottospazio V è 2 e una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_2$. Poi come posso procedere? Io ho pensato calcolando la dimensione e la base della somma, mettendo in matrice i vettori dei sottospazi V e W, poi tramite Grassman trovo la dimensione dell intersezione....ma per una base dell'intersezione???
scusate se insisto... ma qualcuno può aiutarmi??? e che non riesco a continuare...sono nel pallone più totale!! ho tre libri davanti... ma nessuno che spiega in maniera precisa come operare!!
secondo i miei calcoli il parametro per cui i vettori sono linearmente dipendenti è 0, quindi il rango è 2 che corrisponde alla dimensione di V ed una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_3$
ora la matrice somma dei vettori è $((1,2,0,-1),(-1,0,3,0),(1,4,3,-2),(0,0,0,1))$ il rango di questa matrice è 2 quindi la dimensione di $V+W$ è 2 ed una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_3$ oppure $\upsilon_1$ e $w_1$ oppure ancora $\upsilon_3$ e $w_2$....
per la formula di Grassman la dimensione dell'intersezione è 2???
e per trovare una base dell'intersezione a questo punto come posso andare avanti???
grazie in anticipo a chiunque può darmi una mano!!!
secondo i miei calcoli il parametro per cui i vettori sono linearmente dipendenti è 0, quindi il rango è 2 che corrisponde alla dimensione di V ed una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_3$
ora la matrice somma dei vettori è $((1,2,0,-1),(-1,0,3,0),(1,4,3,-2),(0,0,0,1))$ il rango di questa matrice è 2 quindi la dimensione di $V+W$ è 2 ed una base è quella formata dai vettori $\upsilon_1$ e $\upsilon_3$ oppure $\upsilon_1$ e $w_1$ oppure ancora $\upsilon_3$ e $w_2$....
per la formula di Grassman la dimensione dell'intersezione è 2???
e per trovare una base dell'intersezione a questo punto come posso andare avanti???
grazie in anticipo a chiunque può darmi una mano!!!
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