Somma e intersezione di sottospazi

[simone891]

salve a tutti anche se per molti sembrerà banale vi chiedo aiuto per risolvere questo esercizio.
Assegnato il sottospazio W1=[(a,b,c,d) in R4 : a+2b=d=0 ] e W3=L((1,1,-1,-1),(0,0,1,1),((2,2,0,0))) trovare la dimensione e una base rispettivamente per l'intersezione e per la somma dei due sottospazi.
p.s. non posso usare il teorema degli orlati,ma risolverlo ad esempio mettendo a gradini una matrice.

Grazie mille

[miuemia]

inizia a far vedere il tuo procedimento e dove hai problemi.

[simone891]

allora io ho trovato il generico vettore di una base di W1=[(-b,b,c,0) con b,c appartenenti a R] la cui dimensione è due essendo due i parametri liberi.Poi ho dato valore arbitrario a b e c e ho scritto una base di W1=[(-2,1,0,0),(0,0,1,0)].Ho scritto poi una base per W3 eliminando il primo vettore che dipendeva dagli altri due W3=[(0,0,1,1),(2,2,0,0)]. Ora ho pensato di mettere i vettori della base di W1 e W3 in una matrice e poi metterli a gradini in modo da trovare il numero di vettori indipendenti che costituiscono la base dello spazio intersezione,ma non so se è corretto.Per lo spazio somma non so come fare a trovare una base.
questo è come avevo pensato di fare ma nn so andare avanti ...grazie

[Camillo]

Per trovare la dimensione dello spazio somma $(W_1+W_3 )$ accosta in una matrice le rispettive basi

$((-2,0,0,2),(1,0,0,2),(0,1,1,0),(0,0,1,0))$

Il rango di questa matrice è pari alla dimensione del sottospazio $(W_1+W_3 )$ .
Adesso è immediato trovarne una base data dai vettori lin. indip.
Sfruttando il Teorema di Grassmann puoi poi trovare la dimensione dello spazio intersezione tra i due sottospazi .

S.E.O. ottengo che dim $(W_1+W_3 )$ =4 da cui deduco che dim$ (W_1 nn W_3 )= 0 $ e quindi contiene solo il vettore nullo.

[Camillo]

Aggiungo che di conseguenza per quanto detto sopra :

$W_1+W_3 $ è somma diretta ; inoltre $W_1+W_3=RR^4 $.

[simone891]

Grazie sei stato molto chiaro quindi mettere a gradini i vettori di entrambi le basi è l'unico sistema per ottenere una base del sottospazio somma?grazie ancora..

[Camillo]

Affiancare verticalemnte in una matrice le basi dei sottospazi in questione e poi stabilire il rango ( col metodo che vuoi ) della matrice risultante ti fornisce la dimensione dello spazio somma e anche una sua base.
Non credo sia l'unico metodo, mi sembra però un metodo efficiente.

*Sottospazio intersezione
In questo caso il sottospazio intersezione ha dimensione 0 e quindi è formato dal solo vettore nullo.
Se così non fosse , il T. di Grassmann ti permette sempre di trovare la dimensione del sottospazio intersezione : per trovarne una base invece suggerisco di ricavare, se già non disponibile, la forma cartesiana(**) dei sottospazi coinvolti $W_1,W_3 $ e di mettere a sistema le relative espressioni e ottenere l'espressione del generico vettore intersezione .
Dopodichè una base è immediata da trovare .

(**) Forma cartesiana
$W_1 : ( x+2y=0 ; t=0) $
$W_3 : ( x-y=0 ; z-t =0 )$
da cui :


$w_1 =( -2y,y,z,0) ;w_3=( y,y,z,z) $.

[simone891]

grazie ancora per l'aiuto speriamo di nn perdermi nei calcoli!!!