Somma diretta immagine e nucleo endomorfismo

[parmeo]

Stavo leggendo questa discussione viewtopic.php?f=37&t=182851 e mi ha fatto sorgere una domanda.

Ma come è possibile che vi siano endomorfismi in cui immagine e nucleo non sono in somma diretta?
Infatti se associamo una matrice: il nucleo sarà la dimensione del null-space (la nullità) e l'immagine è il rango della matrice. Affermare che alcune volte non siano in somma diretta (e infatti a volte non lo sono da quanto ho capito) equivale ad affermare che nullità più rango vista per le matrici a volte non funziona.
Eppure è impossibile che due righe lineramente indipendenti sommate alla dimensione del nullspace delle soluzioni del sistema omogeneo generino meno del numero delle incognite, ed è impossibile

[killing_buddha]

$$
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
$$ il suo nucleo è il sottospazio $(\lambda,0)$; la sua immagine, pure. (funziona per tutti gli endomorfismi nilpotenti)

[parmeo]

In pratica posso dire che è sempre vero che la dimensione della nullità (spazio soluzioni di quella matrice vista come sistema) più rango (riga linearmente indipendente) fa sempre n incognite (in questo caso due), ma non sono in somma diretta perché l'intersezione non è nulla (è lo stesso vettore).

Sarebbe giusta una proposizione del genere?
Grazie e buona gionrata killing.

[killing_buddha]

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango

[parmeo]

Ti ringrazio, quindi dall'enunciato direi di sì, dim(null space)+dim(rango)=n incognite della matrice.
E possono sussistere casi come quello del tuo controesempio in cui intersezione non è nulla.
Nel caso in esempio infatti è due volte il vettore di dimensione 1 (stesso per nullspace che per immagine) che da 2 incognite della matrice iniziale.

Mi pare di aver capito così, sbaglio?