Somma diretta e vettori univoci
Buon giorno a tutti,
sto studiando geometria e sono arrivato alla definizione di somma diretta di spazzi vettoriali. A questo punto ho trovato la seguente affermazione:
U + W è somma diretta se e solo se ogni suo vettore si esprime in modo unico nella forma u +w.
Infatti, se U + W = U \(\displaystyle \oplus \) W e
u+w=u'+w' per qualche u,u' \(\displaystyle \in \) U e w,w' \(\displaystyle \in \) W, allora
u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W, quindi
u-u'=w'-w = 0 cioè
u=u' e w'=w
Purtroppo non riesco a capire il punto u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W.
Perché la differenza dei due vettori deve appartenere alla intersezione dei due spazi vettoriali?
Grazie per qualsiasi aiuto,
Diedro
sto studiando geometria e sono arrivato alla definizione di somma diretta di spazzi vettoriali. A questo punto ho trovato la seguente affermazione:
U + W è somma diretta se e solo se ogni suo vettore si esprime in modo unico nella forma u +w.
Infatti, se U + W = U \(\displaystyle \oplus \) W e
u+w=u'+w' per qualche u,u' \(\displaystyle \in \) U e w,w' \(\displaystyle \in \) W, allora
u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W, quindi
u-u'=w'-w = 0 cioè
u=u' e w'=w
Purtroppo non riesco a capire il punto u-u'=w'-w \(\displaystyle \in \) U \(\displaystyle \cap \) W.
Perché la differenza dei due vettori deve appartenere alla intersezione dei due spazi vettoriali?
Grazie per qualsiasi aiuto,
Diedro
Risposte
Facile: per ipotesi
\[
\exists u,u^{\prime}\in U,w,w^{\prime}\in W\mid v=u+w=u^{\prime}+w^{\prime}\in U\oplus W=V
\]
quindi
\[
u+w=u^{\prime}+w^{\prime}\iff u-u^{\prime}=w-w^{\prime},
\]
per gli assiomi di spazio vettoriale e la definizione di somma diretta di spazi vettoriali
\[
u-u^{\prime}\in U,w-w^{\prime}\in W\Rightarrow u-u^{\prime}=w-w^{\prime}\in U\cap W=\left\{\underline{0}\right\},
\]
e quindi
\[
u=u^{\prime}\in U,w=w^{\prime}\in W.
\]
\[
\exists u,u^{\prime}\in U,w,w^{\prime}\in W\mid v=u+w=u^{\prime}+w^{\prime}\in U\oplus W=V
\]
quindi
\[
u+w=u^{\prime}+w^{\prime}\iff u-u^{\prime}=w-w^{\prime},
\]
per gli assiomi di spazio vettoriale e la definizione di somma diretta di spazi vettoriali
\[
u-u^{\prime}\in U,w-w^{\prime}\in W\Rightarrow u-u^{\prime}=w-w^{\prime}\in U\cap W=\left\{\underline{0}\right\},
\]
e quindi
\[
u=u^{\prime}\in U,w=w^{\prime}\in W.
\]
Se u = w starà sia in U che in W.
ciao a tutti,
grazie di cuore. Ora mi è tutto più chiaro. Mi mancava soprattutto il passaggio che la somma di vettori in uno spazio vettoriale genera ancora un vettore appartenente allo stesso spazio e che per essere uguali u-u' e w-w' devono appartenere alla intersezione degli spazi.
Siete stati super preziosi.
grazie ancora.
Diedro
grazie di cuore. Ora mi è tutto più chiaro. Mi mancava soprattutto il passaggio che la somma di vettori in uno spazio vettoriale genera ancora un vettore appartenente allo stesso spazio e che per essere uguali u-u' e w-w' devono appartenere alla intersezione degli spazi.
Siete stati super preziosi.
grazie ancora.
Diedro
Ciao a tutti,
scusate ma sto riprendendo questi argomenti e pian piani cerci di capirli.
Mente mi è chiaro il teorema da un verso: se ho somma diretta allora ogni vettore si esprime in modo univoco; purtroppo non riesco a dimostrare il contrario. Qualcuno può gentilmente aiutarmi?
Grazie
scusate ma sto riprendendo questi argomenti e pian piani cerci di capirli.
Mente mi è chiaro il teorema da un verso: se ho somma diretta allora ogni vettore si esprime in modo univoco; purtroppo non riesco a dimostrare il contrario. Qualcuno può gentilmente aiutarmi?
Grazie
Ciao diedro 
Prova a supporre per assurdo che $WcapU$ sia non vuoto e sia $x inWcapU$
Prendi ora $u inU$ e $w in W$. In quale altro modo puoi scrivere $w+u$? prova a pensare al vettore $x$ ed al fatto che gli spazi siano chiusi per somme.
Prova a supporre per assurdo che $WcapU$ sia non vuoto e sia $x inWcapU$
Prendi ora $u inU$ e $w in W$. In quale altro modo puoi scrivere $w+u$? prova a pensare al vettore $x$ ed al fatto che gli spazi siano chiusi per somme.
Ciao,
credo di poter scrivere \(\displaystyle u+w \) come \(\displaystyle u+0+w +0\)
ma qui mi fermo.
Posso dire lo stesso per \(\displaystyle x \) e quindi \(\displaystyle x = x+0 \), ma di nuovo mi fermo
scusatemi.
credo di poter scrivere \(\displaystyle u+w \) come \(\displaystyle u+0+w +0\)
ma qui mi fermo.
Posso dire lo stesso per \(\displaystyle x \) e quindi \(\displaystyle x = x+0 \), ma di nuovo mi fermo
scusatemi.
Cosa ti dice la scrittura
$v+w=v+w+0=(v+w)+(x-x)=(u+x)+(w-x)$
?
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