Somma diretta e sottospazi supplementari

[dem1509]

$S= {(1,2s,2,1), (0,2,-2,0), (1,2, 1,2s), (s, 0,3/2,1/2)} $ $sube$ R4
L'esercizio dice di determinare la dimensione dello spazio W generato da S al variare di s.

Facendo i calcoli ho trovato che: se $s=1/2$, $dimW=2$, se $s=-2$ $dimW=3$; se s diverso da 1/2 e -2 dimW=4 e forma una base di R4.
Poi mi chiede di determinare la somma di W e U=<(1,-3,1,1),(1,-1,4,1)> e dire quando è diretta e quando i sottospazi sono supplementari.
Io so che la somma è diretta se W+U dà tutto lo spazio e se W intersecato U = 0.
se W+U dà tutto lo spazio ma l'intersezione non è nulla, i sottospazi sono supplementari.
Svolgendo i calcoli con la formula di Grassmann, ho che:
se s= 1/2: dim (W+U)=3, intersezione=1
se s=-2: dim (W+U)=4, intersezione =1
se s diverso da 1/2 e -2, dim(W+U)=4, intersezione =2

la somma non è mai diretta ma non riesco a capire perchè i sottospazi non sono mai supplementari (da quello che ho letto nelle risposte): perchè non possono esserlo nel secondo e terzo caso?

[ciampax]

Fai confusione su un fatto: dire che due spazi sono in somma diretta non implica che diano, necessariamente, tutto lo spazio che li contiene. Infatti una somma è diretta se, per definizione, ogni $w\in V+U$ si ottiene in modo unico o, equivalentemente, se $V\cap U=\{0\}$. Invece, se la somma, oltre che essere diretta, fornisce anche tutto lo spazio ambiente, si parla di spazi supplementari.