Somma diretta.
Buonasera, ho un problema con una dimostrazione inerente alla caratterizzazione della somma diretta.
Dal manuale consigliato dalla prof. si introduce la definizione di somma diretta passando prima per il seguente lemma, cioè
Lemma: Dati $U_1,U_2,...,U_n$ sottospazi vettoriali di $V$ risultano equivalenti le seguenti condizioni:
a) $forall v in U_1+U_2+...+U_n $ si scrive in modo unico nella forma $V=u_1+u_2+...+u_n$ con $u_i in U_i$,
b) Dati $n$ vettori $u_i in U_i$, $i=1,...,n$ se $u_1+u_2+...+u_n=0_V$ allora $u_i=O_V$ per ogni $i$.
poi
Definizione: Se dei sottospazi $U_i$ soddisfano le condizioni del lemma diremo che la loro somma $U=U_1+U_2+...+U_n$ è una somma diretta e scriveremo $U=U_1oplusU_2oplus...oplusU_n.$
Fin qui tutto bene, ora riporto la caratterizzazione:
-) Siano $U_1, U_2$ sottospazi vettoriali di $V$ risultano essere in somma diretta se e solo se $U_1 cap U_2={0_V}.$
Dimostrazione:
Mostriamo che esiste una bigezione tra $U_1 cap U_2$ ed i modi di scrivere $O_V$ come somma di un vettore di $U_1$ ed un vettore di $U_2$.
Dato $u in U_1capU_2$ per definizione di intersezione $u in U_1, U_2$ quindi $-u in U_2$ e $O_V=u+(-u)$.
Viceversa se $0_V=u_1+u_2$ con $u_i in U_i$ allora $u_1=-u_2 in U_2$ quindi $u_1 in U_1capU_2.$
I passaggi della dimostrazione mi risultano chiari, ma non mi è chiaro il senso cioè mi spiego meglio, ad esempio non riesco ad individuare nella prima parte l'ipotesi e la tesi, per prima parte intendo da: Dato...$O_V=u+(-u)$.
Mi sono accorto dopo che ho pubblicato in una sezione non idonea.
Dal manuale consigliato dalla prof. si introduce la definizione di somma diretta passando prima per il seguente lemma, cioè
Lemma: Dati $U_1,U_2,...,U_n$ sottospazi vettoriali di $V$ risultano equivalenti le seguenti condizioni:
a) $forall v in U_1+U_2+...+U_n $ si scrive in modo unico nella forma $V=u_1+u_2+...+u_n$ con $u_i in U_i$,
b) Dati $n$ vettori $u_i in U_i$, $i=1,...,n$ se $u_1+u_2+...+u_n=0_V$ allora $u_i=O_V$ per ogni $i$.
poi
Definizione: Se dei sottospazi $U_i$ soddisfano le condizioni del lemma diremo che la loro somma $U=U_1+U_2+...+U_n$ è una somma diretta e scriveremo $U=U_1oplusU_2oplus...oplusU_n.$
Fin qui tutto bene, ora riporto la caratterizzazione:
-) Siano $U_1, U_2$ sottospazi vettoriali di $V$ risultano essere in somma diretta se e solo se $U_1 cap U_2={0_V}.$
Dimostrazione:
Mostriamo che esiste una bigezione tra $U_1 cap U_2$ ed i modi di scrivere $O_V$ come somma di un vettore di $U_1$ ed un vettore di $U_2$.
Dato $u in U_1capU_2$ per definizione di intersezione $u in U_1, U_2$ quindi $-u in U_2$ e $O_V=u+(-u)$.
Viceversa se $0_V=u_1+u_2$ con $u_i in U_i$ allora $u_1=-u_2 in U_2$ quindi $u_1 in U_1capU_2.$
I passaggi della dimostrazione mi risultano chiari, ma non mi è chiaro il senso cioè mi spiego meglio, ad esempio non riesco ad individuare nella prima parte l'ipotesi e la tesi, per prima parte intendo da: Dato...$O_V=u+(-u)$.
Mi sono accorto dopo che ho pubblicato in una sezione non idonea.
Risposte
Buonasera, penso di aver capito. Vi riporto la dimostrazione che mi sono ricostruito.
Dimostrazione :
[size=85]Suppongo che la somma di $U_1+U_2$ sia diretta, sia $u in U_1 cap U_2$ per definizione di intersezione si ha $u in U_1$ e $u in U_2$, in particolare da $u in U_2 to -u in U_2,$ essendo $U_2$ sottospazio vettoriale di $V.$
Ponendo $u_1=u in U_1$ e $u_2=-u in U_2,$ essendo la somma diretta ed in particolare $u_1+u_2=0_V$ quindi per la b) del lemma riportato nel precedente messaggio, risulta $u_1=u_2=0_V$.
Per la posizione fatta risulta $u=0_V$ e dall'arbitrarietà di $u$ si ha $U_1capU_2={0_V}.$
Invece viceversa, supponendo $U_1capU_2={0_V}$ faccio vedere che la somma è diretta.
Siano $u_i in U_i$ con $i=1,2$ se $0_V=u_1+u_2$ allora $u_1=-u_2 in U_2$, quindi $u_1 in U_1capU_2={0_V} to u_1 in {0_V}$ allora $u_1=0_V$.
Sostituendo in $0_V=u_1+u_2$ cioè $0_V=0_V+u_2$ si ha $u_2=0_V$, per cui $u_1=u_2=0_V$ cioè per la b) del lemma riportato nel precedente messaggio, la somma è diretta.[/size]
Può andare bene ?
Dimostrazione :
[size=85]Suppongo che la somma di $U_1+U_2$ sia diretta, sia $u in U_1 cap U_2$ per definizione di intersezione si ha $u in U_1$ e $u in U_2$, in particolare da $u in U_2 to -u in U_2,$ essendo $U_2$ sottospazio vettoriale di $V.$
Ponendo $u_1=u in U_1$ e $u_2=-u in U_2,$ essendo la somma diretta ed in particolare $u_1+u_2=0_V$ quindi per la b) del lemma riportato nel precedente messaggio, risulta $u_1=u_2=0_V$.
Per la posizione fatta risulta $u=0_V$ e dall'arbitrarietà di $u$ si ha $U_1capU_2={0_V}.$
Invece viceversa, supponendo $U_1capU_2={0_V}$ faccio vedere che la somma è diretta.
Siano $u_i in U_i$ con $i=1,2$ se $0_V=u_1+u_2$ allora $u_1=-u_2 in U_2$, quindi $u_1 in U_1capU_2={0_V} to u_1 in {0_V}$ allora $u_1=0_V$.
Sostituendo in $0_V=u_1+u_2$ cioè $0_V=0_V+u_2$ si ha $u_2=0_V$, per cui $u_1=u_2=0_V$ cioè per la b) del lemma riportato nel precedente messaggio, la somma è diretta.[/size]
Può andare bene ?
Qualche consiglio su come procedere ? 
Per me è tutto corretto! 
Perfetto, grazie mille
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