Somma diretta

[GiuliaCinicola]

Sia $ f : V rarr V $ una applicazione lineare che ammetta almeno un autovalore λ. Prendiamo v ∈ V che non sia un autovettore. E’ vero che l’autospazio V (λ) e il sottospazio $ < v> $ sono in somma diretta?

Allora $ V(lambda ) = (win V : f(w) = lambda w) $ quindi visto che v non è autovettore non appartiene all'insieme quindi $ V(lambda ) nn < v> = 0 $ .
Come faccio a dimostrare che la loro somma è uguale a V?

[kaspar1]

\(
\newcommand\id{\text{id}}
\newcommand\vek[1]{\langle #1 \rangle}
\)

"giuggiole":Come faccio a dimostrare che la loro somma è uguale a V?

Ti chiedi se \(V = \vek v \oplus V(\lambda)\) ? Trattandosi di sottospazi di \(V\), sarebbe la stessa cosa provare che
\[\dim V(\lambda) = \dim\ker(f -\lambda\id) = \dim V-1\,.\]
E lo è (sempre)?

[GiuliaCinicola]

Si dovrebbe esserlo perchè la dimensione di $ $ è 1,giusto?

[kaspar1]

Ma non hai ancora provato che \(V\) è quella somma diretta.
Riformulo meglio: la dimensione di \(V(\lambda)\) è sempre \(n-1\), con \(n = \dim V\)?

[GiuliaCinicola]

"kaspar":Ma non hai ancora provato che \(V\) è quella somma diretta.
Riformulo meglio: la dimensione di \(V(\lambda)\) è sempre \(n-1\), con \(n = \dim V\)?

Se considero la dimensione di $ V(lambda) $ che sarebbe la molteplicità algebrica è uguale alla dimensione di V meno il rango della matrice con l'autovalore fissato. Io so che l'applicazione lineare ammette almeno un autovalore, ma possono essere anche di più quindi il rango della matrice può essere 1 o non può esserlo. Quindi non è sempre vero che la dim di $ V(lambda) $ = n-1.
E' giusto?

Grazie dell'aiuto

[kaspar1]

Se vuoi essere un po' più concreto potresti fornire un controesempio al tuo claim iniziale. Prendi l'endomorfismo \(f : k^3 \to k^3\), con \(k\) campo, con la matrice associata
\[\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\] Non ho fatto i conti con carta e matita, ma sono sicuro che \(1\) sia un autovalore relativo a \(f\) e che \(V(1)\) abbia dimensione \(1\).

[GiuliaCinicola]

Si esce la dimensione di $ V(1) $ uguale a 1. Grazie mille dell'aiuto

[kaspar1]

"giuggiole":
Se considero la dimensione di $ V(lambda) $ che sarebbe la molteplicità algebrica [...]

In generale non è vero: a essere precisi è la molteplicità geometrica dell'autovalore \(\lambda\) che può essere o non essere uguale a quella algebrica.