Somma diretta

[a.shatti]

Salve a tutti,
vi espongo il mio dubbio/problema ho un esercizio di questo genere:

Sia K un campo e sia T:K^3->K^3 l'applicazione lineare associata alla matrice
[T]= $((9 ,-1,7),(-1,5,5),(1,-1,3))$
a) Determina KerT e ImmT quando K=Z2
b) Determina KerT e ImmT quando K=Z3
c) In quali dei precedenti casi e' vero che K^3=KerT⊕ImmT?

Mi interessa piu che altro la domanda c,

a) Base Imm $((9,-1,1))$
Base Ker $((-1,1,0))$, $((-1,0,1))$

b) Base Imm $((9,-1,1))$,$((-1,5,-1))$
Base Ker $((-2,1,1))$

c) Ho messo la base dell'immagine e del nucleo in una matrice e ho calcolato il rango. Entrambe, sia il punto a che il punto b, mi torna rango =3, quindi per la formula di Grassman sono somme dirette.

Confermate? Grazie a tutti per l'attenzione

[Bokonon]

"a.shatti":
c) Ho messo la base dell'immagine e del nucleo in una matrice e ho calcolato il rango. Entrambe, sia il punto a che il punto b, mi torna rango =3, quindi per la formula di Grassman sono somme dirette.

Ciò che hai scritto è sempre vero, è il teorema di rango + nullità, ma non ti dice nulla sulla somma diretta.
Anzi, in linea generale, i vettori che compongono la base del kernel e dell'immagine possono persino avere un numero diverso di componenti. In questo caso hanno lo stesso numero di componenti per va da $K^3$ in se.

La domanda è diversa, ti chiede quando lo spazio di partenza e lo spazio di arrivo sono pari alla somma diretta di Ker e Im dell'applicazione...e in campi con diverse caratteristiche.

Sono anche perplesso dalle soluzioni che hai scritto. Prova a scrivere la $T_2$, ovvero T con caratteristica 2.