Somma diretta

[abbas90]

Preso un endomorfismo $ f:Vrarr V $ lineare, è vero o falso che $ V=Kerfo+ Imf $ ?
Potreste darmi un input?

[garnak.olegovitc1]

@abbas90,

"abbas90":Preso un endomorfismo $ f:Vrarr V $ lineare, è vero o falso che $ V=Kerfo+ Imf $ ?
Potreste darmi un input?

si tratta di dimostrare... sai cos'è una somma diretta di sottospazi?

Saluti

[abbas90]

Si sono in somma diretta se la loro intersezione è nulla e la loro somma genera lo spazio

[garnak.olegovitc1]

@abbas90,

"abbas90":Si sono in somma diretta se la loro intersezione è nulla e la loro somma genera lo spazio

mmm .. io per la mente ho altre definizioni (ma magari le tue sono anche giuste), cmq sia.. arrivati a questo punto sai quando un sottospazio di \(V \) è uguale a \( V \)..?? Pensaci.. dai che è facile ! Si tratta di applicare qualche definizione e teorema famoso sugli spazi vettoriale e sulle applicazioni lineari!

****Suggerimento: un sottospazio è uguale allo spazio se e solo se hanno la stessa dimensione, ergo devi fare vedere che hanno la stessa dimensione ovvero \( dim(V)=dim(ker(f) \oplus im(f)) \).. come si fa? non mi fare andare oltre significherebbe scriverti la soluzione

Saluti

P.S.= Preciso le mie definizioni, \( ker(f) + im(f) \) è in somma diretta se:$$ \forall a \in ker(f), b \in im(f)(a+_V b=0_V \to a=b=0_V)$$ una condizione necessaria e sufficiente è anche se \( ker(f) \cap im(f) = \{0_V\} \)..

[Pappappero1]

E' vero che $\dim \ker f + \dim \Im f = \dim V$ ma in generale non è vero che $\ker f$ e $\Im f$ sono in somma diretta. E' vero se la mappa può essere rappresentata (con la stessa base in partenza e in arrivo) da una matrice simmetrica.