Somma di sottospazi vettoriali

[Greatkekko]

Buonasera a tutti,
come potete notare vi ho già posto il quesito.

Come (credo) da regolamento, posterei la mia opinione a riguardo, che immagino verrà brutalmente smentita.
Comunque sia, se ho ben capito, la dimensione di U è 3, quella di W è 2 e quella di Z è 1.

Detto questo, credo anche di aver capito che $ dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U nn V) $

Nello specifico, correggetemi se sbaglio:

U+W= L(e1+e2,e1+e3,e1+e4,e1,e1+e2+e3)
W+Z= L(e1,e1+e2+e3,e1+e2+e3+e4)
U+Z= L(e1+e2,e1+e3,e1+e4,e1+e2+e3+e4)

Per verificare se v'è o no intersezione tra tali vettori, immagino io debba costruire una matrice composta, per colonne, dai coefficienti dei vettori dei sottospazi somma. Esempio:

U+W: $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ) $

Quindi determinare il rango di tale matrice (magari mettendola a scala, così ottengo anche una base).
La mia idea è: se in questo caso il rango è 4, quindi massimo, l'intersezione è nulla (quindi si tratta anche di somma diretta).

Che ve ne pare? Quante castronerie ho scritto?

Grazie a chiunque voglia concedermi un pò di tempo ed attenzione.
Francesco.

[Greatkekko]

Scusami, io ho scritto che la matrice del sottospazio U+W ha rango 4 ipotizzando (forse erroneamente, non ho fatto i conti in quanto volevo solo verificare la corretta comprensione del concetto) che questo fosse il rango MASSIMO di tale matrice, avendo questa solo 4 righe.

Ma ora che mi fai riflettere, la dimensione di questo spazio dev'essere senza dubbio di dimensione 5, a meno che non vi siano intersezioni.
A questo punto mi chiedo: essendo il rango massimo della matrice che ho scritto sopra (associata ai due sottospazi) 4, significa che tale somma U+W avrà ALMENO un elemento nell'intersezione, SEMPRE.
Dove sbaglio?

Grazie per la risposta.

[Greatkekko]

Forse c'è la possibilità che io non stia sbagliando. Nel caso che ho postato (U+W) non si avrà mai una somma diretta in quanto il rango massimo della matrice non eguaglia la somma delle dimensioni dei sottospazi U e W, quindi vi sarà sempre almeno un elemento nell'intersezione.

In tal caso, quale sarebbe una base di tale sottospazio?

Grazie.

[Greatkekko]

Spero di averci visto giusto: l'esame è stamattina!

[Greatkekko]

È andato tutto bene, grazie per l'aiuto e alla prossima