Somma di sottospazi e unione di basi
ragazzi vorrei proporre un esercizio di una prova d'esame..
è vero che se $B$ è una base di $H$ e $B'$ è una base di $T$, allora $ B nn B' $ è una base di H+T ??
a questa domanda io rispondo si, se i due spazi H+T sono in somma diretta xkè, una base è un sistema di generatori linearmente indipendenti se l'intersezione tra H e T è vuota allora vuol dire che H e T non hanno vettori in comune che quindi non possono essere espressi come combinazione lineare sia di una base sia dell'altra, l'unione quindi delle basi costituisce ancora un insieme di generatori linearmente indipendenti per lo spazio somma
un altro metodo per provare che la risposta è si, è qll di usare la formula di Grassmann in somma diretta e cioè :
$ dim(H+T)= dim(H) + dim(T) $ e cioè il numero di vettori della base di T più il numero di vettori della base di H danno come risultato il numero di vettori della base di H+T allora le due basi unite formano una base di H+T...
mi potete aiutare vorrei un pare perchè non sono sicuro che sia giusto...help esame a breve
è vero che se $B$ è una base di $H$ e $B'$ è una base di $T$, allora $ B nn B' $ è una base di H+T ??
a questa domanda io rispondo si, se i due spazi H+T sono in somma diretta xkè, una base è un sistema di generatori linearmente indipendenti se l'intersezione tra H e T è vuota allora vuol dire che H e T non hanno vettori in comune che quindi non possono essere espressi come combinazione lineare sia di una base sia dell'altra, l'unione quindi delle basi costituisce ancora un insieme di generatori linearmente indipendenti per lo spazio somma
un altro metodo per provare che la risposta è si, è qll di usare la formula di Grassmann in somma diretta e cioè :
$ dim(H+T)= dim(H) + dim(T) $ e cioè il numero di vettori della base di T più il numero di vettori della base di H danno come risultato il numero di vettori della base di H+T allora le due basi unite formano una base di H+T...
mi potete aiutare vorrei un pare perchè non sono sicuro che sia giusto...help esame a breve
Risposte
Penso tu volessi scrivere $B\cup B'$. La risposta è nì, comunque. L'unione delle basi ti dà un sistema di generatori che è una base SOLO quando la somma è diretta (e la formula di Grassman te lo conferma, se no i conti delle dimensioni non tornerebbero!). Infatti per definizione
$H+T = \{h+t : h\in H, t\in T\}$
per definizione di base e di spazio vettoriale, possiamo riscrivere i generici $h,t$ e l'insieme come:
$H+T = \{ (\sum_{b\in B} \lambda_b b) + (\sum_{b'\in B'} \mu_{b'} b'): \lambda_b, \mu_{b'} \in\mathbb{K}\}$
(dove $\mathbb{K}$ è il campo su cui è costruito lo spazio vettoriale).
Questa scrittura ci mostra che $H+T$ è dato da tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori di $B$ e $B'$, dunque $B\cup B'$ è un suo sistema di generatori.
Paola
$H+T = \{h+t : h\in H, t\in T\}$
per definizione di base e di spazio vettoriale, possiamo riscrivere i generici $h,t$ e l'insieme come:
$H+T = \{ (\sum_{b\in B} \lambda_b b) + (\sum_{b'\in B'} \mu_{b'} b'): \lambda_b, \mu_{b'} \in\mathbb{K}\}$
(dove $\mathbb{K}$ è il campo su cui è costruito lo spazio vettoriale).
Questa scrittura ci mostra che $H+T$ è dato da tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori di $B$ e $B'$, dunque $B\cup B'$ è un suo sistema di generatori.
Paola
"prime_number":
Penso tu volessi scrivere $B\cup B'$. La risposta è nì, comunque. L'unione delle basi ti dà un sistema di generatori che è una base SOLO quando la somma è diretta (e la formula di Grassman te lo conferma, se no i conti delle dimensioni non tornerebbero!).
Paola
si scusatemi volevo scrivere unione delle basi...
sorry!! cmq ho detto che basta considerare la formula di Grassmann quando V e T sono in somma diretta, quindi il mio ragionamento è corretto...
Sì. Inoltre l'unione è una base (e non solo sistema di generatori) SE E SOLO SE la somma è diretta.
Paola
Paola
grazieee mille ^_^
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