Somma dei sottospazi di una famiglia data
Ciao a tutti. Quello che vi chiedo non è di spiegarmi cos'è una somma di sottospazi, ma di darmi un esempio diciamo "concreto" di un sottoinsieme che sia proprio questo ente, e di spiegarmi come mai è somma di quali sottospazi.
Purtroppo il mio libro è molto evasivo su questo argomento, e non riesco al momento a crearmi un esempio ex novo.
Se rispondeste a questa richiesta, ve ne sarei molto grato.
Ciao!
Purtroppo il mio libro è molto evasivo su questo argomento, e non riesco al momento a crearmi un esempio ex novo.
Se rispondeste a questa richiesta, ve ne sarei molto grato.
Ciao!
Risposte
Ah guarda è molto semplice. Prendi il piano cartesiano e i suoi due assi coordinati - ovvero, analiticamente, lo spazio vettoriale $RR^2$ e le rette vettoriali $X={(lambda, 0)\ |\ lambda\inRR}, Y={(0, mu)\ |\ mu\inRR}$ - .
Risulta proprio che $RR^2=X+Y$ e la dimostrazione è immediata.
Se vai avanti nella lettura del tuo libro, ti accorgerai della vera natura algebrica di questa operazione: la somma di due sottospazi è il più piccolo sottospazio vettoriale che li contenga entrambi.
Nell'esempio di sopra abbiamo richiesto il più piccolo sottospazio vettoriale a contenere le due rette "asse $x$" e "asse $y$". Naturalmente un oggetto simile deve avere dimensione 2 ed ecco perché la somma dei due sottospazi è tutto il piano cartesiano.
Risulta proprio che $RR^2=X+Y$ e la dimostrazione è immediata.
Se vai avanti nella lettura del tuo libro, ti accorgerai della vera natura algebrica di questa operazione: la somma di due sottospazi è il più piccolo sottospazio vettoriale che li contenga entrambi.
Nell'esempio di sopra abbiamo richiesto il più piccolo sottospazio vettoriale a contenere le due rette "asse $x$" e "asse $y$". Naturalmente un oggetto simile deve avere dimensione 2 ed ecco perché la somma dei due sottospazi è tutto il piano cartesiano.
Ottimo esempio, ed è ovvio che lo stesso può dirsi anche dello spazio $RR^3$, in cui i sottospazi sono gli assi generatori di un qualsiasi sistema di riferimento affine.
Tra l'altro, se non sbaglio, nell'esempio che dai tu si ha anche che $RR^2$ è somma DIRETTA dei sottospazi $X$ e $Y$, dato che, oltre ad essere $RR^2 = X + Y$, è anche $X nn Y = vec0$. O dico forse una gastroneria?
Tra l'altro, se non sbaglio, nell'esempio che dai tu si ha anche che $RR^2$ è somma DIRETTA dei sottospazi $X$ e $Y$, dato che, oltre ad essere $RR^2 = X + Y$, è anche $X nn Y = vec0$. O dico forse una gastroneria?
Esatto, la somma è diretta. E' una possibile maniera algebrica di dire che a una terna di numeri reali corrisponde uno ed un solo punto dello spazio.
Ok grazie mille! E viiia si va avanti con algebra lineare! Eheh
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