Soluzioni di $X^2=I$

[eminova]

Sia $X \in M(n,\mathbb{R})$, una matrice $n \times n$ a entrate reali. Quante soluzioni ha l'equazione $X^2=1$ ?
E se $ X \in M(n,\mathbb{C})$ ?

[21zuclo]

aspetta..non ho capito molto bene..

questa espressione $X^2=1$ che poi è $X^2-1=0$

per te è il tuo polinomio caratteristico della matrice?..non capisco bene..

comunque.. $x^2=1\to x=\pm 1$

[vict85]

Alcune considerazioni sono necessarie. La prima è che se chiamo \(\displaystyle \mathscr{X} \) l'insieme delle soluzioni di \(\displaystyle X^2 -I = 0 \) in \(\displaystyle M(n,\mathbb{R}) \) allora \(\displaystyle TXT^{-1} \in \mathscr{X} \)per ogni \(\displaystyle T\in GL(n,\mathbb{R}) \). Infatti \(\displaystyle \bigl(TXT^{-1}\bigr)^2 = TXT^{-1}TXT^{-1} = TX^2T^{-1} = TIT^{-1} = I \). Quindi \(\displaystyle \mathscr{X} \) è fissato per similitudine.

Il secondo aspetto importante è il teorema di Hamilton-Cayley che afferma che una matrice è uno zero del suo polinomio minimo. Perciò è evidente che il polinomio minimo di \(\displaystyle X \) deve dividere \(\displaystyle x^2 - 1 = (x+1)(x-1) \) e quindi tutti i suoi autovalori sono o \(\displaystyle 1 \) o \(\displaystyle -1 \). In sostanza \(\displaystyle \mathscr{X} \) è l'insieme della matrici simili ad una matrice che ha tutti \(\displaystyle -1 \) o \(\displaystyle 1 \) sulla diagonale.

[eminova]

"vict85": In sostanza X è l'insieme della matrici simili ad una matrice che ha tutti −1 o 1 sulla diagonale.

Grazie a vict85 che ha corretto il mio abuso di notazione interpretando correttamente $X^2=1$ come $X^2=I$.
( se sapessi come fare correggerei tutti i titoli )

Seguendo il suo ragionamento io però direi che $X$ è l'insieme delle matrici che ha solo $1$ e $-1$ sulla diagonale, quindi, a meno di una similitudine, il numero delle soluzioni in $M(n,\mathbb{C})$ è $2^n$.
Proviamo a generalizzare il problema in due direzioni.
La prima mi sembra più facile:
Quante sono le soluzioni di $X^k=I$ con $X \in M(n,\mathbb{C}), k\in \mathbb{N}$ ?
la seconda più difficile (almeno per me):
Quante sono le soluzioni di $X^2=A$ con $X,A \in M(n,\mathbb{C})$ ? In altri termini: quante sono le radici quadrate di una matrice a entrate complesse ?