Soluzioni di un sistema lineare omogeneo: esercizio

[xpierox93]

Salve Scrivo il testo dell'esercizio:

Verificare che il sottoinsieme di $RR^4$

W = ${(x_1, x_2, x_3, x_4) $/$ x_1 + x_2 = x_2 - 2x_3 = 0}$

è un sottospazio vettoriale di $RR^4$. Determinare una sua base e la dimensione.
Ho svolto l'esercizio in questo modo:

W è un sottospazio vettoriale perché coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo nelle incognite $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$:

$\{(x_1 + x_2 = 0),(x_2 - 2x_3 = 0):}$

Calcolo il rango della matrice dei coefficienti

A = $((1,1,0),(0,1,-2))$

e risulta r(A) = 2
Considero il minore non nullo di A $|(1,1),(0,1)|$ che include le incognite $x_1, x_2$

ponendo $x_3 = 1, x_4 = 0$ si ha l'autosoluzione $\alpha_1$ = (-2,2,1,0)
ponendo $x_3 = 0, x_4 = 1$ si ha l'autosoluzione $\alpha_2$ = (0,0,0,1)

essendo le due autosoluzioni linearmente indipendenti, costituiscono una base di W e dimW = 2

È sbagliato il mio procedimento? Il libro considera un altro minore non nullo e ottiene altre soluzioni

[21zuclo]

allora hai questo sistema lineare omogeneo $ A=[ ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -2 ) ] $ è una matrice 2x3

per cui suo rango è compreso $1\leq \rho \leq 2$, prendendo per esempio questo minore $ | ( 1 , 0 ),( 1 , -2 ) |=-2\ne 0 $

per cui il rango della matrice è $\rho(A)=2$

in base al teorema di Rouché Capelli, puoi dire che questo sistema ha $ \infty^(3-2)=\infty^(1) $ soluzioni

dovresti avere solo 1 parametro libero e non 2

tipo.. hai $ { ( x+y=0 ),( y-2z=0 ):}\to {(y=-x),(z=-x/2):} $

quindi hai $ ((x),(y),(z))=((x),(-x),(-x/2))\to x=2\to Span{((2),(-2),(-1))} $

e ha dimensione 1

[xpierox93]

Ciao, grazie per la risposta
Io mi sono attenuto al procedimento del libro e infatti mi è venuta una cosa simile...

Il libro risolve così:

"W è un sottospazio vettoriale perché coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo in incognite $x_1, x_2, X_3, x_4$:

$\{(x_1 + x_2 = 0),(x_2 - 2x_3 = 0):}$

Intanto la dim W = 4 - r(A) ove A è la matrice dei coefficienti del sistema e quindi dim W = 2 poichè è evidente che r(A) = 2.
Una base di W si ottiene risolvendo il sistema ponendo dapprima $x_2 = 1, x_4 = 0$ e poi $x_2 = 0, x_4 = 1$.
Pertanto le quaterne $(-1,1, 1/2,0),(0,0,0,1)$ costituiscono una base di W"