Soluzioni del polinomio caratteristico di una matrice

[Gigioloman]

mi viene data la matrice simmetrica della quale devo calcolare gli autovalori
1 1 0
1 3 1
0 1 2
per un lemma che il mio prof ha dimostrato facente parte del teorema spettrale so che il polinomio caratteristico di una qualunque matrice simmetrica ha radici reali ma quando vado a calcolare il polinomio, cioè il det di
1-x 1 0
1 3-x 1
0 1 2-x
ottengo il polinomio -x^3 + 6x^2 - 9x + 3 che ho provato in tutti i modi (anche con un programma che calcola le soluzioni di polinomi di terzo grado) ma niente.. non ha soluzioni reali. Qualcuno sa dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Il grafico del tuo polinomio è quello indicato in figura. Come puoi vedere, esso interseca l'asse x in tre punti distinti e ciò significa che l'equazione $-x^3+6x^2-9x+3=0$ ha tre radici reali, distinte $x_1,x_2,x_3$ con :
$0 $1 $3 Tali radici non sono razionali e andrebbero approssimate con uno dei numerosi metodi conosciuti.
Dovrebbe essere:
$x_1=0.4679,x_2=1.6527,x_3=3.8794$

[Gigioloman]

ah io davo per scontato che le radici dovessero essere dei numeri facili da calcolare dato che questo è preso da un esame in cui vanno calcolati poi gli autospazi e varie cose ma non ho neanche provato a guardare il grafico. grazie mille

[gugo82]

"Gigioloman":ah io davo per scontato che le radici dovessero essere dei numeri facili da calcolare dato che questo è preso da un esame in cui vanno calcolati poi gli autospazi e varie cose ma non ho neanche provato a guardare il grafico. grazie mille

Probabilmente c'è qualche errore di battitura nel testo.

Ad ogni modo, se il polinomio caratteristico ha coefficienti interi, per sapere se ci sono soluzioni "facili" basta provare come radici i divisori del termine noto; in questo caso, nessuno dei quatto divisori \(\pm 1,\pm 3\) dava risultato sperato, quindi radici "facili" probabilmente non ce ne sono.

Per trovare le soluzioni esatte a mano dovresti ricorrere alle formule di Cardano... Ma tanto vale far fare i conti al calcolatore.