Soluzione non unica di un sistema
Dato un sistema AX=B dove gli elementi di A dipendono da una variabile, come si fa a sapere per quale k la soluzione non è unica?
So che per rouchè-capelli, per avere soluzioni il rango di A deve essere uguale al rango della matrice completa (A|B)
Per non avere soluzioni basta che non valga il teorema di r-c
Per avere 1 soluzione, l'insieme delle soluzioni deve avere dimensione nulla
per avere infinite soluzioni r(a)=r(A!B)
Per sapere quando la soluzione non è unica invece?
So che per rouchè-capelli, per avere soluzioni il rango di A deve essere uguale al rango della matrice completa (A|B)
Per non avere soluzioni basta che non valga il teorema di r-c
Per avere 1 soluzione, l'insieme delle soluzioni deve avere dimensione nulla
per avere infinite soluzioni r(a)=r(A!B)
Per sapere quando la soluzione non è unica invece?
Risposte
ho capito poco quello che vuoi dire..
allora il teorema di Rouché-Capelli, afferma
Dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite $ A\ul(x)=b $ vi sono le seguenti possibilità
se $ rank(A)< rank(A|b) $ allora il sistema non ha soluzione
se $ rank(A)= rank(A|b) $ allora il sistema ha $ \infty^(n-r) $ soluzioni
allora il teorema di Rouché-Capelli, afferma
Dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite $ A\ul(x)=b $ vi sono le seguenti possibilità
se $ rank(A)< rank(A|b) $ allora il sistema non ha soluzione
se $ rank(A)= rank(A|b) $ allora il sistema ha $ \infty^(n-r) $ soluzioni
Ho un esercizio che mi chiede per quale k la soluzione del sistema non è unica. E' come dire per quale k ci sono infinite soluzioni o è ancora un'altra cosa?
mi sembra di si!.. per quali k ci sono infinite soluzioni..in base al parametro devi vedere le soluzioni..
ps.: imposta l'esercizio che vediamo
ps.: imposta l'esercizio che vediamo
ll sistema
$\{(x+y-kz=k),(x+y+z=2+3k),(2x-ky+z=2):}$
Quindi si ha la matrice $A=(1,1,-k),(1,1,1),(2,-k,1))$ e $B=((k),(2+3k),(2))$
il primo punto mi chiede di stabilire per quali k ammette soluzioni.
Quindi per r-c so che ammette soluzioni se e solo se $rnk(A)=rnk(A|B)$
Quindi mi trovo il rango di A: prendo un minore con determinante non nullo
$\delta= |(1,1),(2,-k)|\Rightarrow k=-2!=0$
quindi orlo il minore. In questo caso potevo calcolarmi direttamente il determinante di A visto che è una 3x3.
Quindi $|A|=(1+k)-(1-k^2)+2(1+k)=k^2+3k+2\Rightarrow k_1=-2; k_2=-1$
A(k=-1) ha rango 2 così come A|B(k-1)
A(k=-2) ha rango 2 mentre A|B(k=-2) ha rango 3
Pertanto ammette soluzioni per $k!=-2$
Il punto successivo invece mi chiede per quale k la soluzione non è unica. Non penso che sia la stessa cosa che mi chiedeva prima, visto che per rouchè-capelli non ammette soluzioni per k=-1 (che k=-1 sarebbe la soluzione della domanda)
$\{(x+y-kz=k),(x+y+z=2+3k),(2x-ky+z=2):}$
Quindi si ha la matrice $A=(1,1,-k),(1,1,1),(2,-k,1))$ e $B=((k),(2+3k),(2))$
il primo punto mi chiede di stabilire per quali k ammette soluzioni.
Quindi per r-c so che ammette soluzioni se e solo se $rnk(A)=rnk(A|B)$
Quindi mi trovo il rango di A: prendo un minore con determinante non nullo
$\delta= |(1,1),(2,-k)|\Rightarrow k=-2!=0$
quindi orlo il minore. In questo caso potevo calcolarmi direttamente il determinante di A visto che è una 3x3.
Quindi $|A|=(1+k)-(1-k^2)+2(1+k)=k^2+3k+2\Rightarrow k_1=-2; k_2=-1$
A(k=-1) ha rango 2 così come A|B(k-1)
A(k=-2) ha rango 2 mentre A|B(k=-2) ha rango 3
Pertanto ammette soluzioni per $k!=-2$
Il punto successivo invece mi chiede per quale k la soluzione non è unica. Non penso che sia la stessa cosa che mi chiedeva prima, visto che per rouchè-capelli non ammette soluzioni per k=-1 (che k=-1 sarebbe la soluzione della domanda)
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