Soluzione equazione complessa
Ciao a tutti,
vorrei sapere se la mia soluzione della seguente equazione a coefficienti complessi sia corretta (purtroppo non ho le soluzioni)
Equazione:
$e^(3z)+9e^(\bar z)=0$
Risoluzione:
$e^(3a+i3b)+9e^(a-ib)=0$
$e^(3a)e^(i3b)=-9e^ae^(-ib)$
$e^(3a)e^(i3b)=9e^ae^(ib)$
Modulo: $e^(3a)=9e^a rArr e^(3a)/e^a=9 rArr e^(2a)=9=3^2$
$2a=ln 3^2=2ln 3 rArr a=ln3$
Argomento: $3b=b+2k\pi rArr b=k\pi, k in ZZ$
Soluzioni: $z=ln3+ik\pi, k in ZZ$
Sono corrette queste soluzioni?
vorrei sapere se la mia soluzione della seguente equazione a coefficienti complessi sia corretta (purtroppo non ho le soluzioni)
Equazione:
$e^(3z)+9e^(\bar z)=0$
Risoluzione:
$e^(3a+i3b)+9e^(a-ib)=0$
$e^(3a)e^(i3b)=-9e^ae^(-ib)$
$e^(3a)e^(i3b)=9e^ae^(ib)$
Modulo: $e^(3a)=9e^a rArr e^(3a)/e^a=9 rArr e^(2a)=9=3^2$
$2a=ln 3^2=2ln 3 rArr a=ln3$
Argomento: $3b=b+2k\pi rArr b=k\pi, k in ZZ$
Soluzioni: $z=ln3+ik\pi, k in ZZ$
Sono corrette queste soluzioni?
Risposte
Beh, sostituendole nell'equazione dovresti trovare conferma...
Ad ogni modo, visto che $"e"^bar(z)=-"e"^z$, hai:
$"e"^(3z)+9"e"^bar(z)="e"^(3z)-9"e"^z="e"^z*("e"^(2z)-9)="e"^z*("e"^z-3)*("e"^z+3)$
quindi tutto si riduce a risolvere $"e"^z=3$ ed $"e"^z=-3$ (visto che $"e"^z!=0$).
P.S.: Perchè questo thread sta in Geometria ed algebra lineare? Noi di Analisi ti siamo antipatici?...
Ad ogni modo, visto che $"e"^bar(z)=-"e"^z$, hai:
$"e"^(3z)+9"e"^bar(z)="e"^(3z)-9"e"^z="e"^z*("e"^(2z)-9)="e"^z*("e"^z-3)*("e"^z+3)$
quindi tutto si riduce a risolvere $"e"^z=3$ ed $"e"^z=-3$ (visto che $"e"^z!=0$).
P.S.: Perchè questo thread sta in Geometria ed algebra lineare? Noi di Analisi ti siamo antipatici?...
sinceramente ho postato qui perchè devo prepararmi per l'esame di algebra e questi argomenti sono in questo esame 
alla sezione di analisi ho rotto già abbastanza fino a poche settimane fa quando dovevo prepararmi analisi 2
alla sezione di analisi ho rotto già abbastanza fino a poche settimane fa quando dovevo prepararmi analisi 2
@gugo: mi spieghi come fa a venire $e^{\bar{z}}=-e^z$????
"ciampax":
@gugo: mi spieghi come fa a venire $e^{\bar{z}}=-e^z$????
Anche a me
In effetti non lo so... Sarà stato il sonno. 
Devo smetterla di postare troppo tardi, ormai non c'ho più il fisico (come disse la mamma di Einstein quando se ne andò di casa...).
Evidentemente è $"e"^bar(z)=bar("e"^z)$ ed ho sbagliato i conti.
Però:
$"e"^(3z)+9"e"^bar(z)="e"^(3z)+9bar("e"^z)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \{(zeta="e"^z),(zeta^3+9bar(zeta)=0):}$
e si vede che la seconda ha solo la soluzione nulla: infatti, moltiplicando per $zeta$ m.a.m. in $zeta^3=-9bar(zeta)$ si ottiene $zeta^4=-9|zeta|^2=-9|zeta^2|$, il che importa $zeta^2="i" b$ e quindi $b^2=9b^2$ vera solo per $b=0$.
Quindi il problema non ha soluzione ($"e"^z!=0$ per ogni $z$).
Mi sono riscattato?
Devo smetterla di postare troppo tardi, ormai non c'ho più il fisico (come disse la mamma di Einstein quando se ne andò di casa...).
Evidentemente è $"e"^bar(z)=bar("e"^z)$ ed ho sbagliato i conti.
Però:
$"e"^(3z)+9"e"^bar(z)="e"^(3z)+9bar("e"^z)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \{(zeta="e"^z),(zeta^3+9bar(zeta)=0):}$
e si vede che la seconda ha solo la soluzione nulla: infatti, moltiplicando per $zeta$ m.a.m. in $zeta^3=-9bar(zeta)$ si ottiene $zeta^4=-9|zeta|^2=-9|zeta^2|$, il che importa $zeta^2="i" b$ e quindi $b^2=9b^2$ vera solo per $b=0$.
Quindi il problema non ha soluzione ($"e"^z!=0$ per ogni $z$).
Mi sono riscattato?
Gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato....
(ok, ok, la smetto di fare l'imbecille!)
(ok, ok, la smetto di fare l'imbecille!)
[OT]
Purtroppo di questo periodo non è cosa rara...
Sarà che non riesco a stare tranquillo per via del dottorato; in effetti non ho ancora trovato un buon equilibrio.
Spero che quelle due settimane scarse di vacanza che ho programmato riescano a rimettermi in sesto.
[/OT]
"ciampax":
Gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato....
(ok, ok, la smetto di fare l'imbecille!)
Purtroppo di questo periodo non è cosa rara...
Sarà che non riesco a stare tranquillo per via del dottorato; in effetti non ho ancora trovato un buon equilibrio.
Spero che quelle due settimane scarse di vacanza che ho programmato riescano a rimettermi in sesto.
[/OT]
"Gugo82":
[OT]
[quote="ciampax"]Gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato, gugo ha sbagliato....
(ok, ok, la smetto di fare l'imbecille!)
Purtroppo di questo periodo non è cosa rara...
Sarà che non riesco a stare tranquillo per via del dottorato; in effetti non ho ancora trovato un buon equilibrio.
Spero che quelle due settimane scarse di vacanza che ho programmato riescano a rimettermi in sesto.
[/OT][/quote]
Ma la finisci? Guarda che scherzavo!
Io no...
Sono davvero scocciato in questo periodo.
E quando sono scocciato non riesco né a lavorare bene (infatti mi sono un po' arenato negli ultimi due mesi) né ad essere veramente d'aiuto agli altri.
Vabbé... Ma smettiamola di intasare il thread con post di commiserazione varia ed eventuale.
Mi auguro che enpires non abbia preso per oro colato quello che gli ho suggerito ieri e che abbia capito dove sbagliava nell'esercizio (infatti anche lui aveva preso l'abbaglio $"e"^bar(z)=-"e"^z$).
Sono davvero scocciato in questo periodo.
E quando sono scocciato non riesco né a lavorare bene (infatti mi sono un po' arenato negli ultimi due mesi) né ad essere veramente d'aiuto agli altri.
Vabbé... Ma smettiamola di intasare il thread con post di commiserazione varia ed eventuale.
Mi auguro che enpires non abbia preso per oro colato quello che gli ho suggerito ieri e che abbia capito dove sbagliava nell'esercizio (infatti anche lui aveva preso l'abbaglio $"e"^bar(z)=-"e"^z$).
grazie a tutti 
sisi ho capito fortunatamente l'errore, e sono riuscito a risolvere grazie davvero per l'aiuto che mi date
adesso il problema è un altro, avevo pensato di aprire un altro topic ma forse è meglio continuare qui (così nn riempiamo di topic fotocopia il forum)
Ho il sistema
$\{(z^3 - \bar z^3=0),(e^(2z)-(e^((2\pi)/sqrt(3))+e)e^z+e^((2\pi)/\sqrt(3)+1)):}
La risoluzione della prima è banale, e mi da le rette passanti per l'origine, con angoli (rispetto alle X, o Re(z) o ciò che preferite) $0+k\pi/3$ con $k=0,...,5$
Il problema è quell'obbrobrio scritto come seconda equazione
ad intuito, quegli esponenti strani ma simili mi fanno pensare che qualcosa si semplificherà, ma sinceramente non so come proseguire.
Esprimere $z$ in forma $\rho e^(i\theta)$ ho paura che complichi le cose più che aggiustarle, stessa cosa per lo sfruttare la forma $x+iy$...
L'unica cosa che mi viene in mente è rimandare il calcolo della z chiamando $e^z=t$ e quindi ottenere l'equazione $t^2-(e^((2\pi)/sqrt(3))+e)t+e^((2\pi)/\sqrt(3)+1)$ ma non sembra molto più "carina"
consigli su come procedere??
sisi ho capito fortunatamente l'errore, e sono riuscito a risolvere grazie davvero per l'aiuto che mi dateadesso il problema è un altro, avevo pensato di aprire un altro topic ma forse è meglio continuare qui (così nn riempiamo di topic fotocopia il forum)
Ho il sistema
$\{(z^3 - \bar z^3=0),(e^(2z)-(e^((2\pi)/sqrt(3))+e)e^z+e^((2\pi)/\sqrt(3)+1)):}
La risoluzione della prima è banale, e mi da le rette passanti per l'origine, con angoli (rispetto alle X, o Re(z) o ciò che preferite
) $0+k\pi/3$ con $k=0,...,5$Il problema è quell'obbrobrio scritto come seconda equazione
ad intuito, quegli esponenti strani ma simili mi fanno pensare che qualcosa si semplificherà, ma sinceramente non so come proseguire.
Esprimere $z$ in forma $\rho e^(i\theta)$ ho paura che complichi le cose più che aggiustarle, stessa cosa per lo sfruttare la forma $x+iy$...
L'unica cosa che mi viene in mente è rimandare il calcolo della z chiamando $e^z=t$ e quindi ottenere l'equazione $t^2-(e^((2\pi)/sqrt(3))+e)t+e^((2\pi)/\sqrt(3)+1)$ ma non sembra molto più "carina"
consigli su come procedere??
Niente di preoccupante,tranquillo:
$e^(2z)-(e^((2pi)/sqrt3)+e)*e^z+e^((2pi)/sqrt3+1)=0 <=> e^z=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-sqrt((e^((2pi)/sqrt3)+e)^2-4e^((2pi)/(sqrt3)+1))]=..=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-sqrt((e^((2pi)/sqrt3)-e)^2)]=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-e^((2pi)/sqrt3)-e]$ eccetera
$e^(2z)-(e^((2pi)/sqrt3)+e)*e^z+e^((2pi)/sqrt3+1)=0 <=> e^z=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-sqrt((e^((2pi)/sqrt3)+e)^2-4e^((2pi)/(sqrt3)+1))]=..=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-sqrt((e^((2pi)/sqrt3)-e)^2)]=1/2*[(e^((2pi)/sqrt3)+e)+-e^((2pi)/sqrt3)-e]$ eccetera
aaaa classico metodo ho capisciuto...
Domani provo ad applicarlo (a quest'ora nn credo il mio povero cervello regga la questione)
Grazie mille per la diritta! ci lavoro su e vi faccio sapere
ho capisciuto...Domani provo ad applicarlo (a quest'ora nn credo il mio povero cervello regga la questione)
Grazie mille per la diritta! ci lavoro su e vi faccio sapere
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