Sistemi,matrici,vettori
Salve, volevo chiedere un chiarimento su un esercizio che sto provando a risolvere,ho una matrice del tipo A|b la mia matrice A è una 3x4 (cerco di scriverla) A= prima riga : 1,0,0,0 ; seconda riga: 2,1,0,1 ; terza riga: 1,0,1,0; e b=(1,0,0), ora dovrei vedere innanzi tutto se il rango di A è uguale al rango di A|b; e mi trovo in difficoltà nel determinare il rango di A, poiché non essendo quadrata non posso calcolarmi il determinante, giusto? allora ho provato a vedere se vi era dipendenza tra i quattro vettori e non trovandola ho supposto che il rango di A fosse pari a 3, e che il rango di b fosse pari a 3, così mi trovo nel caso in cui il rango di A è uguale al rango di b, vado perciò a cercare la dimensione delle soluzioni quindi faccio il numero di variabili meno il rango di A quindi 4-3= 1, mi viene diverso da zero, perciò non posso applicare nell'immediato Cramer, e devo cercare una sottomatrice di A, e adesso mi sorge un secondo dubbio 
devo trovare una sottomatrice che abbia rango massimo? ma se ho già visto ( sempre supponendo di non aver sbagliato) che il rango di A è massimo, allora tutte le sottomatrici non hanno rango massimo? e soprattutto come faccio ad ottenere una sottomatrice quadrata? o non è necessario per riscrivere il sistema con parametro?
Grazie a chi risponderà!
devo trovare una sottomatrice che abbia rango massimo? ma se ho già visto ( sempre supponendo di non aver sbagliato) che il rango di A è massimo, allora tutte le sottomatrici non hanno rango massimo? e soprattutto come faccio ad ottenere una sottomatrice quadrata? o non è necessario per riscrivere il sistema con parametro?Grazie a chi risponderà!
Risposte
Ciao.
Per prima cosa ti consiglio di consultare la sezione del Forum in cui viene spiegato come scrivere le formule, e quindi di usare le formule per facilitare la comprensione a chi legge.
Ora, le tue matrici sono
$A = ([1,0,0,0],[2,1,0,2],[1,0,1,0])$ e $b=([1],[0],[0])$.
Qui ci sono due errori:
1. Se non sei riuscito a trovare una relazione di dipendenza lineare, non vuol dire che non ne esiste una. Quello che devi fare è dimostrare che non ce ne possono essere, ad esempio modificando la tua matrice e trovando un minore non nullo di ordine massimo. Chiamiamo $a_1, a_3, a_3$ le righe di $A$. Allora, se sostituisco $a_2$ con $a_2 - 2 * a_1$ e sostituisco $a_3$ con $a_3 - a_1$ ottengo la matrice
$A' = ([1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,0,1,0])$ il cui primo minore d'ordine $3$ è non-nullo. Quindi $A$ ha effettivamente rango 3.
2. $b$ non ha rango $3$! Ha rango $1$. A te interessa che $A|b$ abbia ancora rango $3$, il che è chiaro perchè $A$ aveva
rango massimo, quindi il tuo minore non nullo lo puoi ancora trovare, esattamente lo stesso di prima.
Quindi, $A$ ha rango $3$, hai $4$ variabili, quindi lo spazio delle soluzioni ha dimensione $1$ (la conclusione a cui eri giunto fin qui è corretta).
Decisamente no: il minore
$([0,0,0],[1,0,1],[0,1,0])$ non ha certo rango 3.
Nel caso del tuo sistema puoi risolvere facilmente, perchè se chiamiamo le variabili $x,y,z,w$ la prima equazione ti dà
$x=1$, che sostituito nell'ultima dà $z=-1$. Infine la seconda equazione diventa $y+w=-2$, quindi uno tra $y$ e $w$ è parametro libero e la tua soluzione è (con $w$ come parametro)
$(1,-w-2,-2,w)$
Per prima cosa ti consiglio di consultare la sezione del Forum in cui viene spiegato come scrivere le formule, e quindi di usare le formule per facilitare la comprensione a chi legge.
Ora, le tue matrici sono
$A = ([1,0,0,0],[2,1,0,2],[1,0,1,0])$ e $b=([1],[0],[0])$.
allora ho provato a vedere se vi era dipendenza tra i quattro vettori e non trovandola ho supposto che il rango di A fosse pari a 3
Qui ci sono due errori:
1. Se non sei riuscito a trovare una relazione di dipendenza lineare, non vuol dire che non ne esiste una. Quello che devi fare è dimostrare che non ce ne possono essere, ad esempio modificando la tua matrice e trovando un minore non nullo di ordine massimo. Chiamiamo $a_1, a_3, a_3$ le righe di $A$. Allora, se sostituisco $a_2$ con $a_2 - 2 * a_1$ e sostituisco $a_3$ con $a_3 - a_1$ ottengo la matrice
$A' = ([1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,0,1,0])$ il cui primo minore d'ordine $3$ è non-nullo. Quindi $A$ ha effettivamente rango 3.
2. $b$ non ha rango $3$! Ha rango $1$. A te interessa che $A|b$ abbia ancora rango $3$, il che è chiaro perchè $A$ aveva
rango massimo, quindi il tuo minore non nullo lo puoi ancora trovare, esattamente lo stesso di prima.
Quindi, $A$ ha rango $3$, hai $4$ variabili, quindi lo spazio delle soluzioni ha dimensione $1$ (la conclusione a cui eri giunto fin qui è corretta).
ma se ho già visto ( sempre supponendo di non aver sbagliato) che il rango di A è massimo, allora tutte le sottomatrici non hanno rango massimo?
Decisamente no: il minore
$([0,0,0],[1,0,1],[0,1,0])$ non ha certo rango 3.
Nel caso del tuo sistema puoi risolvere facilmente, perchè se chiamiamo le variabili $x,y,z,w$ la prima equazione ti dà
$x=1$, che sostituito nell'ultima dà $z=-1$. Infine la seconda equazione diventa $y+w=-2$, quindi uno tra $y$ e $w$ è parametro libero e la tua soluzione è (con $w$ come parametro)
$(1,-w-2,-2,w)$
Grazie mille per aver risposto 
Sei stato molto chiaro e ho capito cosa mi volevi dire solo che ci sono delle cose su cui ho dei dubbi e non so se li ho capiti bene, quando ho una matrice che non è quadrata per vedere il rango devo studiare il rango delle sotto matrici ( quadrate)? per vedere se effettivamente tutte hanno rango massimo o meno?
Inoltre, il rango di b come fai a dire che è 1? perché è solo un vettore?
Poi tornando all'esercizio, quando vedo che lo spazio delle soluzioni è diverso da zero,io da quello che ho studiato dovrei andare ad applicare il metodo di Cramer alle sottomatrici, giusto? scusami se posso sembrarti ripetitiva ma ci terrei a capirlo bene :/
Sei stato molto chiaro e ho capito cosa mi volevi dire solo che ci sono delle cose su cui ho dei dubbi e non so se li ho capiti bene, quando ho una matrice che non è quadrata per vedere il rango devo studiare il rango delle sotto matrici ( quadrate)? per vedere se effettivamente tutte hanno rango massimo o meno? Inoltre, il rango di b come fai a dire che è 1? perché è solo un vettore?
Poi tornando all'esercizio, quando vedo che lo spazio delle soluzioni è diverso da zero,io da quello che ho studiato dovrei andare ad applicare il metodo di Cramer alle sottomatrici, giusto? scusami se posso sembrarti ripetitiva ma ci terrei a capirlo bene :/
Il rango di una matrice, per definizione, è il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti. Se la matrice non è quadrata, avrà più righe che colonne, o viceversa: se ha più righe, il rango è al massimo il numero di colonne, mentre se ha più colonne, il rango è al massimo il numero delle righe. Infatti, se hai $n>m$ vettori di lunghezza $m$ questi sono per forza linearmente dipendenti.
Detto ciò,
Sì. Questo vale per qualunque matrice, quadrata o meno (poi il caso di quelle quadrate può essere più semplice perchè di basta calcolare il determinante e vedere se 0 o no). Ti basta controllare le sottomatrici quadrate: se ne trovi una di ordine $n$ con determinante non nullo e tutte $>n$ hanno determinante nullo, allora $n$ è il tuo rango.
No! Ti basta che ce ne sia una sola che ha rango massimo! Se la tua matrice è $n \times m$ con $nun minore non nullo di ordine $n$ allora la tua matrice ha rango massimo.
Perchè è un vettore non nullo. Per quanto detto sopra, un vettore ha al massimo rango 1 (perchè ha una sola riga, ed eventualmente molte colonne o viceversa, e il rango è al massimo il minimo tra il numero di righe e di colonne).
Quindi il vettore nullo ha rango 0 e qualunque altro vettore ha rango 1.
Per quanto riguarda il metodo di Cramer, si applica solo a matrici quadrate: se il tuo sistema è $Ax=b$ dove $A$ è una matrice quadrata ed è risolubile, allora le soluzioni sono date da $x_i = \det A_i / \det A$ dove $A_i$ è ottenuta da $A$ sostituendo l'$i$-esima colonna con il vettore $b$.
In particolare, nota che il metodo di Cramer fornisce l'unica soluzione del sistema, quando questa è... unica, appunto.
In un caso come quello del tuo esercizio non hai un'unica soluzione, ma hai un intero spazio di soluzioni di dimensione 1!
Detto ciò,
quando ho una matrice che non è quadrata per vedere il rango devo studiare il rango delle sotto matrici ( quadrate)?
Sì. Questo vale per qualunque matrice, quadrata o meno (poi il caso di quelle quadrate può essere più semplice perchè di basta calcolare il determinante e vedere se 0 o no). Ti basta controllare le sottomatrici quadrate: se ne trovi una di ordine $n$ con determinante non nullo e tutte $>n$ hanno determinante nullo, allora $n$ è il tuo rango.
per vedere se effettivamente tutte hanno rango massimo o meno?
No! Ti basta che ce ne sia una sola che ha rango massimo! Se la tua matrice è $n \times m$ con $n
Inoltre, il rango di b come fai a dire che è 1? perché è solo un vettore?
Perchè è un vettore non nullo. Per quanto detto sopra, un vettore ha al massimo rango 1 (perchè ha una sola riga, ed eventualmente molte colonne o viceversa, e il rango è al massimo il minimo tra il numero di righe e di colonne).
Quindi il vettore nullo ha rango 0 e qualunque altro vettore ha rango 1.
Per quanto riguarda il metodo di Cramer, si applica solo a matrici quadrate: se il tuo sistema è $Ax=b$ dove $A$ è una matrice quadrata ed è risolubile, allora le soluzioni sono date da $x_i = \det A_i / \det A$ dove $A_i$ è ottenuta da $A$ sostituendo l'$i$-esima colonna con il vettore $b$.
In particolare, nota che il metodo di Cramer fornisce l'unica soluzione del sistema, quando questa è... unica, appunto.
In un caso come quello del tuo esercizio non hai un'unica soluzione, ma hai un intero spazio di soluzioni di dimensione 1!
Sei stato gentilissimo!! oltre che chiaro nella spiegazione grazie mille davvero
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