Sistemi Quadrati

[Linux1987]

Domanda : Perchè affinchè un sistema di equazioni lineari possa ammettere soluzione il numero delle equazioni deve essere uguale al numero delle incognite ? Ovvero perchè deve essere quadrato? Inoltre Anche i sistemi con numero di equazioni maggiore del numero delle incognite possono ammettere soluzione , se il vettore dei termini noti è complanare ai vettori della matrice dei coefficienti , ovvero se fa parte dello spazio delle colonne di quest'ultima. Giusto? Vi ringrazio in anticipo!!

[Linux1987]

Ragazzi una mano perpiacere!!

[Quinzio]

"pasqualinux":Domanda : Perchè affinchè un sistema di equazioni lineari possa ammettere soluzione il numero delle equazioni deve essere uguale al numero delle incognite ?

Così non significa molto questa affermazione. Il teroema di Rouche-Capelli da le condizioni per la risoluzione dei sistema lineari.

Ovvero perchè deve essere quadrato? Inoltre Anche i sistemi con numero di equazioni maggiore del numero delle incognite possono ammettere soluzione , se il vettore dei termini noti è complanare ai vettori della matrice dei coefficienti , ovvero se fa parte dello spazio delle colonne di quest'ultima. Giusto? Vi ringrazio in anticipo!!

[Linux1987]

Praticamente sto studiando l'interpolazione lagrangiana, e ho letto che per effettuare questa interpolazione è conveniente far si che il sistema di equazioni lineari da risolvere abbia matrice dei coefficienti quadrata. Perchè?

[dissonance]

In ambito numerico tu risolvi *solo* sistemi quadrati. Questo perché solo i sistemi quadrati hanno soluzione unica (sotto certe condizioni dettate dal teorema di Rouché-Capelli) e quindi solo ad essi possono essere applicati metodi numerici.

[Linux1987]

ti ringrazio anche in questo caso della risposta .

[Linux1987]

"dissonance":In ambito numerico tu risolvi *solo* sistemi quadrati. Questo perché solo i sistemi quadrati hanno soluzione unica (sotto certe condizioni dettate dal teorema di Rouché-Capelli) e quindi solo ad essi possono essere applicati metodi numerici.

Non mi trovo con questa affermazione anche i sistemi sovradeterminati hanno soluzione unica, con rouchè capelli se $ rank(A)=Rank([A b])$. Il teorema di rouchè capelli è generalizzato, non indica se il sistema debba essere quadrato o rettangolare !! Quindi perchè è conveniente avere sistemi quadrati ?

Secondo me, perchè è più facile che essendo la matrice dei coefficienti di un sistema quadrato composta da n vettori di $ R^n $ si abbiano più probabilità che questi vettori siano linearmente indipendenti, mentre se utilizziamo dei sistemi sovradeterminati, bè allora sappiamo che è più difficile che siano risolvibili in quanto geometricamente il vettore dei termini noti deve essere complanare al piano individuato dalle colonne di A, ovvero deve appartenere allo stesso sottospazio generato dalla colonne della matrice A, considerando sempre il sistema Ax=b, sistema sovradeterminato.

[dissonance]

SI, ma prova a perturbare di un epsilon \(A\) o \(b\) nel caso non quadrato. Patatracchete: la soluzione unica non c'è più. (Un numerico direbbe che il problema non è ben posto, credo). In ambito teorico puoi anche fregartene ma in ambito numerico queste sono le cose più importanti.

Infatti in questi casi in ambito numerico si usano i minimi quadrati e tecniche simili.

[Linux1987]

Si effettivamente si dice che il problema è mal condizionato, effettivamente hai ragione se perturbiamo i dati del problema in un sistema quadrato in ambito numerico , la soluzione c'è comunque, invece qui basta poco in ambito numerico per non avere più la soluzione... Perchè se perturbiamo di poco A , e la matrice è non singolare , quello che succede e che comunque, la soluzione esiste, perchè le colonne di A sono sempre una base, mentre nel caso del sistema sovradeterminato non è cosi giusto dissonance?

PS come al solito ti ringrazio per la tua disponibilità

[dissonance]

Si, è proprio così. Se trovi il tempo leggiti un po' come lo spiega Moler:

http://www.mathworks.it/moler/chapters.html

capitolo "Linear Equations".