Sistemi linearmente indipendenti

[hypnotizer]

mettendo tre vettori generatori in una matrice e riducendola a gradini trovo una situazione del tipo:

1 1 2
0 1 1
0 0 1

avendo l'ultimo pivot in ultima posizione si genera una situazione di impossibilita', perche' equivale a un sistema del tipo:

a + b = 2
b = 1
0 = 1

ovviamente l'ultima riga e' impossibile rendendo impossibile il sistema.
in una situazione del genere se non vado errato i 3 vettori generatori non sono linearmente indipendenti giusto?
inoltre anche se il sistema non e' impossibile e' pure probabile che is verifichi una situazione dove i vettori sono linearmente dipendenti.

ma alla domanda calcolare una base dello spazio delle soluzioni come devo agire?

ad esempio per questi tre vettori colonna (che scrivo in riga per comodita'):

(1,1) , (1,3) , (1,0)

formanti la matrice
1 3 0
0 2 -1
che equivale cioe' al sistema

a + 3b = 0
2b = -1

che da come risultati b = -1/2 e a = 3/2
essendo linearmente indipendente posso calcolare una base dello spazio delle soluzioni, ma come?

[Principe2]

la vedo difficile trovare in $R^2$ tre vettori linearmente indipendenti...

così come vedo difficile trovare una base di un insieme che NON è uno spazio
vettoriale...

[hypnotizer]

infatti mi sono dimenticato di inserire il termine noto *un vettore colonna di zeri.
ma come la esprimo una base"

[Principe2]

la base NON esiste perchè quel sistema NON è omogeneo e quindi
l'insieme delle sue soluzioni NON èuno spazio vettoriale, ma una sottovarietà affine
e quindi al massimo puoi prendere una base dello spazio del relativo
sistema omogeneo e traslarla tramite una soluzione del sistema che hai.

[hypnotizer]

che macello grazie comunque