Sistemi lineari parametrici..help svolgimento !

[LucaC1]

$\{(x + 2z = 2k),(-x +3y - z = 0),(kx + 2z = 2):}$
con k parametro reale .quale delle seguenti asserzioni è VERA?
1.per k $\epsilon$ R \ (1) il sistema è possibile e determinato
2.per k= -1 il sistema è possibile e indeterminato con $prop$ ^1 soluzioni
3.esiste un k $\epsilon$ R tale che il sistema è impossibile
4.per ogni k $\epsilon$ R il sistema ammette una ed una sola soluzione
5.nessuna delle altre risposte .

Svolgimento
calcolo il determinante di A che è pari a 6-6k , quindi $|A|$ =0 se K = 1 , $|A|$ $!=$ 0 se K $!=$ 1
r(A) è 1 per k=1 , r(A) è 2 per K $!=$ 1 . ora se fin qui è corretto lo svolgimento , come devo procedere , devo lavorare sulla matrice completa o sempre su quella incompleta , e quando devo calcolare le soluzioni si deve tener conto solo delle equazoni dove compare k .?? grazie in anticipo

[LucaC1]

scusate , forse sto sbagliando ma ..se considero k=1 la matrice completa è
$((1,0,2,2),(-1,3,-1,0),(1,0,2,2))$
la quarta colonna non è combinazione lineare della prima colonna ? (+1)

[LucaC1]

forse ho risolto ! ( riposto l'esercizio per comodità )

quote="LucaC"]$\{(x + 2z = 2k),(-x +3y - z = 0),(kx + 2z = 2):}$
con k parametro reale .quale delle seguenti asserzioni è VERA?
1.per k $\epsilon$ R \ (1) il sistema è possibile e determinato
2.per k= -1 il sistema è possibile e indeterminato con $prop$ ^1 soluzioni
3.esiste un k $\epsilon$ R tale che il sistema è impossibile
4.per ogni k $\epsilon$ R il sistema ammette una ed una sola soluzione
5.nessuna delle altre risposte .

Allora :
prendo la matrice incompleta A $((1,0,2),(-1,3,-1),(k,0,2))$
estraggo un Minore con determinante $!=$ 0 ,
$|(1,0),(-1,3)|$ = 3 $!=$ 0 per cui r(A) $>=$ 2
calcolo il determinante di A = 6-6k per cui {( $|A|$ =0, per K=1) , ($|A|$ $!=$ 0 ,per K $!=$ 1):}
quindi
r(A)={(2 , per K=1),(3, altrimenenti o per K $!=$ 1):}

prendo la matrice completa B $((1,0,2,2k),(-1,3,-1,0),(k,0,2,2))$


esamino l'orlato $((1,0,2k),(-1,3,0),(k,0,2))$ che ha determinante 6-6$k^2$ che si annulla solo per K=1 per cui
r(B)={(2 , per K=1) , ( 3 , altrimenenti o per K $!=$ 1):}
quindi il sistema è possibile e determinato per K $\epsilon$ R \ (1) !!!!???? E' giusto ??
PS: per smentire il numero 4 devo calcolare le soluzioni???