Sistemi Lineari Parametrici
Salve a tutti, confido di nuovo in voi per un dubbio che mi è nato oggi:
L'esercizio in questione è il seguente:
Dire per quali valori del parametro reale $k$ il seguente sistema lineare $S_k$ nelle incognite $x$,$y$,$z$,$t$ è possibile specificando nei vari casi la dimensione dello spazio delle soluzioni.
Il sistema è il seguente:
$S_k$ $=$ $\{(5x+7y+(k^2-25)z-5t=1),(5x+14y+kz-5t=1),(15x + 21y-15t=0):}$
Il problema è che nella risoluzione mi ritrovo con una matrice $4*3$
Grazie a tutti in anticipo
L'esercizio in questione è il seguente:
Dire per quali valori del parametro reale $k$ il seguente sistema lineare $S_k$ nelle incognite $x$,$y$,$z$,$t$ è possibile specificando nei vari casi la dimensione dello spazio delle soluzioni.
Il sistema è il seguente:
$S_k$ $=$ $\{(5x+7y+(k^2-25)z-5t=1),(5x+14y+kz-5t=1),(15x + 21y-15t=0):}$
Il problema è che nella risoluzione mi ritrovo con una matrice $4*3$
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao, il fatto che la matrice sia rettangolare non ha importanza. Infatti il teorema di Rouchè-Capelli è basato sulla nozione di rango di una matrice e il rango è ben definito anche per matrici rettangolari. Proviamo a impostare l'esercizio.
La matrice associata al sistema è la seguente: $$\left[\begin{array}{cccc|c}
5&7&k^2-25&-5&1\\5&14&k&-5&1\\15&21&0&-15&0
\end{array}\right]$$ Ora chiediamoci: qual è il rango della matrice incompleta? Al massimo potrà essere $3$ e come minimo sarà $2$ poiché si vede ad occhio che il minore \(2\times 2\) $$\begin{bmatrix}
5&7\\5&14
\end{bmatrix}$$ è invertibile. Procediamo quindi orlando questo minore e facciamo le varie ipotesi.
PS. Se la quarta colonna fosse indipendente dalle prime due potremmo già dire che il rango dell'incompleta è $3$ (ed è massimo). Non essendo così (la quarta colonna è l'opposto della prima) dovremo discutere rispetto ai vari valori che $k$ può assumere.
La matrice associata al sistema è la seguente: $$\left[\begin{array}{cccc|c}
5&7&k^2-25&-5&1\\5&14&k&-5&1\\15&21&0&-15&0
\end{array}\right]$$ Ora chiediamoci: qual è il rango della matrice incompleta? Al massimo potrà essere $3$ e come minimo sarà $2$ poiché si vede ad occhio che il minore \(2\times 2\) $$\begin{bmatrix}
5&7\\5&14
\end{bmatrix}$$ è invertibile. Procediamo quindi orlando questo minore e facciamo le varie ipotesi.
PS. Se la quarta colonna fosse indipendente dalle prime due potremmo già dire che il rango dell'incompleta è $3$ (ed è massimo). Non essendo così (la quarta colonna è l'opposto della prima) dovremo discutere rispetto ai vari valori che $k$ può assumere.
grazie mille 
ma i valori di $k$ come li ottengo?
ma i valori di $k$ come li ottengo?
Discutendo il rango della incompleta. Ad esempio se orli il minore che abbiamo detto prima con la terza riga e la terza colonna ottieni $$\begin{bmatrix}
5&7&k^2-25\\5&14&k\\15&21&0
\end{bmatrix}$$ Qual è il rango di questa matrice? Dipende... Il suo determinante è... che è diverso da zero se $k$... eccetera. Questi sono i passi fondamentali per la discussione del rango di una matrice.
5&7&k^2-25\\5&14&k\\15&21&0
\end{bmatrix}$$ Qual è il rango di questa matrice? Dipende... Il suo determinante è... che è diverso da zero se $k$... eccetera. Questi sono i passi fondamentali per la discussione del rango di una matrice.
Grazie mille in due giorni mi hai salvato 2 vole. grazie ancora!
in due giorni mi hai salvato 2 vole. grazie ancora!
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