Sistemi lineari da studiare al variare di DUE parametri k,h
Ciao ragazzi...sto preparando l'esame di geometria e algebra lineare e trovo problemi con questo tipo di esercizio...
studio di un sistema lineare a più incognite con 2 parametri...
a questo link ( http://i47.tinypic.com/2i93yvt.jpg ) ne ho messe 3 tracce...
la professoressa ha eseguito un solo esempio di questo tipo di esercizi e non riesco a comprenderlo...
cercando su internet ne ho trovati di simili ma con l'utilizzo di 1 SOLO parametro...e questi ultimi riesco già a farli tranquillamente...
vorrei capire qual è la procedura da eseguire per riuscire a svolgerli...
grazie.
Loris
studio di un sistema lineare a più incognite con 2 parametri...
a questo link ( http://i47.tinypic.com/2i93yvt.jpg ) ne ho messe 3 tracce...
la professoressa ha eseguito un solo esempio di questo tipo di esercizi e non riesco a comprenderlo...
cercando su internet ne ho trovati di simili ma con l'utilizzo di 1 SOLO parametro...e questi ultimi riesco già a farli tranquillamente...
vorrei capire qual è la procedura da eseguire per riuscire a svolgerli...
grazie.
Loris
Risposte
anche noi ne abbiamo fatti pochi di questo tipo, ma credo che devi scegliere un parametro principale e discuterlo, e poi in base a come varia questo discuti gli altri parametri. ti spiego con un esempio (il secondo degli esercizi che hai messo in rete)
studi la matrice completa $ ( ( 1 , k , 0 , 2-w ),( k , 0 , k, 1+h ),( k , 0 , 1, h+kw) ) $
la riduci $ ( ( 1 , k , 0 , 2-w ),( k , 0 , k , 1+h ),( 0 , 0 , 1-k , kw-1 ) ) $
scelgo quindi di discutere k come parametro principale, perchè si trova nella matrice A e quindi il rango di A varia solo secondo questo parametro.
-se $ k=1 $ $ ( ( 1 , 1 , 0 , 2-w ),( 1 , 0 , 1 , 1+h ),( 0 , 0 , 0 , w-1 ) ) $ a questo punto se $ w=1 $ $ rg(A) hArr rg(A|B) $ e hai $ oo^(1) $ soluzioni, se invece $ w != 1 $ il sistema non ha soluzione perchè $ rg(A) != rg(A|B) $ . il parametro h invece può variare liberamente su tutto R in entrambi i casi.
-se $ k=0 $ $ ( ( 1 , 0 , 0 , 2-w ),( 0 , 0 , 0 , 1+h ),( 0 , 0 , 1 , h ) ) $ se $ h=-1 $ $ rg(A) hArr rg(A|B) $ e hai $ oo^(1) $ soluzioni, se invece $ h !=- 1 $ il sistema non ha soluzione perchè $ rg(A) != rg(A|B) $ . il parametro w invece può variare liberamente su tutto R in entrambi i casi.
-se k è diverso dai valori sopra hai sempre 1 sola soluzione per qualsiasi valore di h e w.
che ne dici? sembra corretto come ragionamento? io li farei così....fammi sapere!!
ciao
studi la matrice completa $ ( ( 1 , k , 0 , 2-w ),( k , 0 , k, 1+h ),( k , 0 , 1, h+kw) ) $
la riduci $ ( ( 1 , k , 0 , 2-w ),( k , 0 , k , 1+h ),( 0 , 0 , 1-k , kw-1 ) ) $
scelgo quindi di discutere k come parametro principale, perchè si trova nella matrice A e quindi il rango di A varia solo secondo questo parametro.
-se $ k=1 $ $ ( ( 1 , 1 , 0 , 2-w ),( 1 , 0 , 1 , 1+h ),( 0 , 0 , 0 , w-1 ) ) $ a questo punto se $ w=1 $ $ rg(A) hArr rg(A|B) $ e hai $ oo^(1) $ soluzioni, se invece $ w != 1 $ il sistema non ha soluzione perchè $ rg(A) != rg(A|B) $ . il parametro h invece può variare liberamente su tutto R in entrambi i casi.
-se $ k=0 $ $ ( ( 1 , 0 , 0 , 2-w ),( 0 , 0 , 0 , 1+h ),( 0 , 0 , 1 , h ) ) $ se $ h=-1 $ $ rg(A) hArr rg(A|B) $ e hai $ oo^(1) $ soluzioni, se invece $ h !=- 1 $ il sistema non ha soluzione perchè $ rg(A) != rg(A|B) $ . il parametro w invece può variare liberamente su tutto R in entrambi i casi.
-se k è diverso dai valori sopra hai sempre 1 sola soluzione per qualsiasi valore di h e w.
che ne dici? sembra corretto come ragionamento? io li farei così....fammi sapere!!
ciao
"w" non è un parametro lì...ma una incognita...
ho capito abbastanza come ragioni cmq...ma quindi te cominci a studiare l'annullamento dei pivot da destra
verso sinistra quando consideri k?...e non da sinistra verso destra...come operavo io ( doh )...
provo a fare qualche esercizio e ti faccio sapere...
ps
in questo tipo di esercizi quando c'è un solo parametro studiando il
determinante della matrice incompleta si riesce facilmente a risolvere l'esercizio...
come mai con più di un parametro questa procedura non da frutti?
grazie
Loris
ho capito abbastanza come ragioni cmq...ma quindi te cominci a studiare l'annullamento dei pivot da destra
verso sinistra quando consideri k?...e non da sinistra verso destra...come operavo io ( doh )...
provo a fare qualche esercizio e ti faccio sapere...
ps
in questo tipo di esercizi quando c'è un solo parametro studiando il
determinante della matrice incompleta si riesce facilmente a risolvere l'esercizio...
come mai con più di un parametro questa procedura non da frutti?
grazie
Loris
il mio corso di algebra lineare e gemetria analitica conteneva molta poco teoria, quindi mi è difficile rispondere alle tue domande. nel mio corso abbiamo visto più che altro come risolvere gli esercizi e a parole mi viene un po' difficile spiegarti perchè ho fatto così, diciamo che mi è venuto spontaneo perchè lo scopo dell'esercizio è quello di vedere quando il sistema è risolubile e sappiamo che lo è solo quando rg(A)=rg(A|B), quindi è più utile discutere per primo il parametro che si trova nella matrice A, perchè da lui dipende tutto, se invece B è nullo o meno ci interessa relativamente poco.
se tu imposti il determinante uguale a 0 ti ritrovi a dover risolvere un' equazione di chissà quale grado in due variabili, ti troveresti una serie infinita di combinazioni possibili...credo che questo sia il metodo più veloce...
ps. se hai voglia di dare un'occhiata l'altro giorno ho scritto 3 post ("aiuto urgente!")...visto che stai preparando lo stesso esame che ho dato io magari sai rispondermi... grazie ciao
se tu imposti il determinante uguale a 0 ti ritrovi a dover risolvere un' equazione di chissà quale grado in due variabili, ti troveresti una serie infinita di combinazioni possibili...credo che questo sia il metodo più veloce...
ps. se hai voglia di dare un'occhiata l'altro giorno ho scritto 3 post ("aiuto urgente!")...visto che stai preparando lo stesso esame che ho dato io magari sai rispondermi... grazie ciao
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