Sistemi lineari con parametro AIUTO!!!

[caccolina1986]

ciao a tutti mi servirebbe un grosso aiuto: devo fare un esercizio ma in tutti i libri che ho a casa di matematica non riesco a trovare il metodo giusto, allora:
avendo il seguente sistema :
x+ky+z=2
kx-2y+3z=-2
2x-y+4z=0

a)indicare per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile
b)per tali valori di k, indicare se la soluzione è unica o se ci sono infinite soluzioni
c)determinare la soluzione o le soluzioni

mi sarebbe di grande aiuto uno svolgimento comprensibile non so più che pesci prendere. aiutatemi!
grazie mille

[caccolina1986]

VI PREGO AIUTATEMI è URGENTE DPODOMANI HO L'ESAME E MI MANCA SOLO QUESTO ARGOMENTO!

[_nicola de rosa]

"caccolina1986":VI PREGO AIUTATEMI è URGENTE DPODOMANI HO L'ESAME E MI MANCA SOLO QUESTO ARGOMENTO!

La matrice dei coefficienti (o incompleta) è $A_I=[(1, k ,1),(k ,-2 ,3),(2, -1, 4)]$.
La matrice completa è $A_C=[(1, k ,1,2),(k ,-2 ,3,-2),(2,-1,4,0)]$
Teorema di Rouchè-Capelli:"condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema abbia soluzione e quindi sia compatibile è che la matrice dei coefficienti e la matrice completa abbiano stesso rango".
Il determinante della matrice dei coefficienti nel nostro caso è
$Det[A_I]=-4k^2+5k-1$ per cui $Det[A_I]=0$ $<=>$ $k=1$ U $k=1/4$
Si nota che per $k=1/4$ il rango della matrice dei coefficienti è $2$, mentre quello della completa è $3$ ( applicando il teorema degli orlati), per cui se $k=1/4$ il sistema è incompatibile.
Se $k=1$ sia il rango della matrice dei coefficienti che quello della completa è $2$ allora il sistema è compatibile ed avrà $infty^(3-2)=infty^1$ soluzioni mentre ovviamente se $k!=1$ e $k!=1/4$il sistema ammette una ed una sola soluzione che è $(8/(1-4k),8/(4k-1),6/(4k-1))$, calcolabile tramite Cramer.

Per $k=1$ si ha
${(x+y+z=2),(x-2y+3z=-2),(2x-y+4z=0):}$ e si nota che sommando la prima e la seconda otteniamo la terza. Per cui il nostro sistema ha $infty^1$ soluzioni, come già accennato date da $(x,(8-2x)/5,(2-3x)/5)$

In conclusione
1) $k!=1$ e $k!=1/4$ si ha 1 ed 1 sola soluzione $(8/(1-4k),8/(4k-1),6/(4k-1))$
2)$k=1$ si hanno $infty^1$ soluzioni $(x,(8-2x)/5,(2-3x)/5)$
3)$k=1/4$ sistema incompatibile: nessuna soluzione

[caccolina1986]

grazie mille!!!!