Sistemi lineari con parametro
ciao a tutti,
lunedì prossimo dovrò sostenere l'esame di matematica nella mia facoltà, io però avendo fatto il liceo classico sto facendo fatica a prepararmi, quindi chiedo a voi; la prima tipologia di esercizi sarà un sistema lineare con un parametro. (poi studi di funzione, ma aprirò un nuovo argomento apposta nei prossimi giorni
)
la richiesta è questa: "Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare le soluzioni".
studiando la teoria ho visto il teorema di Rouchè-Capelli e il metodo di Cramer.
ora veniamo ai miei dubbi:
in caso di una matrice 3x3, ad esempio (questa ha 2 parametri, io dovrei averne solo 1):
${(ax + 2y + bz = 1),(x + y + az = 1),(x + ay + bz = 1):}$
calcolo il determinante della matrice incompleta per controllare che sia ≠0; così la matrice ha rango 3, giusto?
ho calcolato il determinante della matrice incompleta: $detA=2ab-a^3-3b+2a$
poi l'ho posto ≠0: $detA=2ab-a^3-3b+2a!=0$
e l'ho esplicitato rispetto ad uno dei due parametri: $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$
(nel caso di un solo parametro arrivo ad una soluzione con a diverso ad un numero, giusto?)
da quanto ho capito con $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$ il sistema ammette 1 soluzione, giusto?
poi la teoria prosegue cambiando $!=$ con $=$ dicendo che allora la matrice ha rango =2
e quindi:
se $a!=1, a!=2$ o $a!=b rArr$ il sistema è impossibile
se $a=1, a=2$ o $a=b rArr$ il sistema ha $oo$ soluzioni
-arrivato a dichiarare che il sistema ammette 1 soluzione, come la trovo questa soluzione?
-invece questa seconda parte non l'ho capita, potete chiarmela?
Invece, in caso di una matrice 3x2 come questa, come devo procedere?
${(x + y = 3),(2ax + y = 6),(3x - y = 1):}$
scusate ma non sono riuscito a scrivere usando la scrittura matematica, ho provato ma non ci saltavo fuori.
grazie
edit: alla fine sono riuscito a capire come scrivere... io copiavo gli esempi della guida mettendo questo simbolo \ e mi scombinava tutto
lunedì prossimo dovrò sostenere l'esame di matematica nella mia facoltà, io però avendo fatto il liceo classico sto facendo fatica a prepararmi, quindi chiedo a voi; la prima tipologia di esercizi sarà un sistema lineare con un parametro. (poi studi di funzione, ma aprirò un nuovo argomento apposta nei prossimi giorni
)la richiesta è questa: "Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare le soluzioni".
studiando la teoria ho visto il teorema di Rouchè-Capelli e il metodo di Cramer.
ora veniamo ai miei dubbi:
in caso di una matrice 3x3, ad esempio (questa ha 2 parametri, io dovrei averne solo 1):
${(ax + 2y + bz = 1),(x + y + az = 1),(x + ay + bz = 1):}$
calcolo il determinante della matrice incompleta per controllare che sia ≠0; così la matrice ha rango 3, giusto?
ho calcolato il determinante della matrice incompleta: $detA=2ab-a^3-3b+2a$
poi l'ho posto ≠0: $detA=2ab-a^3-3b+2a!=0$
e l'ho esplicitato rispetto ad uno dei due parametri: $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$
(nel caso di un solo parametro arrivo ad una soluzione con a diverso ad un numero, giusto?)
da quanto ho capito con $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$ il sistema ammette 1 soluzione, giusto?
poi la teoria prosegue cambiando $!=$ con $=$ dicendo che allora la matrice ha rango =2
e quindi:
se $a!=1, a!=2$ o $a!=b rArr$ il sistema è impossibile
se $a=1, a=2$ o $a=b rArr$ il sistema ha $oo$ soluzioni
-arrivato a dichiarare che il sistema ammette 1 soluzione, come la trovo questa soluzione?
-invece questa seconda parte non l'ho capita, potete chiarmela?
Invece, in caso di una matrice 3x2 come questa, come devo procedere?
${(x + y = 3),(2ax + y = 6),(3x - y = 1):}$
scusate ma non sono riuscito a scrivere usando la scrittura matematica, ho provato ma non ci saltavo fuori.
grazie
edit: alla fine sono riuscito a capire come scrivere... io copiavo gli esempi della guida mettendo questo simbolo \ e mi scombinava tutto
Risposte
Ciao, intanto un commento "tecnico" sulla scrittura del forum: per scrivere le formule il modo è molto semplice, si tratta di racchiudere le formule tra due simboli di dollari... e imparare pochi altri codici, che sono elencati nel topic apposito. L'uso di questo sistema è richiesto dal regolamento (oltre che dalla netiquette) quindi non è opzionale 
.
Detto ciò, ti consiglio di darti una letta a questa guida sui sistemi lineari.
Veniamo alle tue domande; indicherò con $A$ la matrice incompleta e con $A|b$ la completa. Come hai detto tu (e dando buoni i tuoi conti del determinante), quando $b\ne a\frac{a^2-2}{2a-3}$ si ha che $rank A =rank A|b=3=$numero delle incognite, perciò il sistema ha un'unica soluzione. Per trovarla in modo esplicito puoi utilizzare il metodo di Cramer (vedi guida sopra linkata).
Dopo di che l'esercizio continua, perché resta la domanda: cosa accade, invece, quando $b=a\frac{a^2-2}{2a-3}$? In quel caso già sappiamo che $det A =0$ e quindi $rank A <3$. Come spiega la guida sopra linkata, si aprono nuove possibilità.
Se dopo la lettura di quel topic sui sistemi lineari ti restano altri dubbi, chiedi pure.
Paola
.Detto ciò, ti consiglio di darti una letta a questa guida sui sistemi lineari.
Veniamo alle tue domande; indicherò con $A$ la matrice incompleta e con $A|b$ la completa. Come hai detto tu (e dando buoni i tuoi conti del determinante), quando $b\ne a\frac{a^2-2}{2a-3}$ si ha che $rank A =rank A|b=3=$numero delle incognite, perciò il sistema ha un'unica soluzione. Per trovarla in modo esplicito puoi utilizzare il metodo di Cramer (vedi guida sopra linkata).
Dopo di che l'esercizio continua, perché resta la domanda: cosa accade, invece, quando $b=a\frac{a^2-2}{2a-3}$? In quel caso già sappiamo che $det A =0$ e quindi $rank A <3$. Come spiega la guida sopra linkata, si aprono nuove possibilità.
Se dopo la lettura di quel topic sui sistemi lineari ti restano altri dubbi, chiedi pure.
Paola
intanto ti ringrazio, ho le idee un po' più chiare, ma ho ancora qualche dubbio...
stasera scrivo i passi avanti e i dubbi restanti
per la scrittura in formule mi pare di avere capito che il problema è che io uso Mac (di base uso Safari, ma ho provato anche con Firefox ma niente da fare); può essere questo il problema? C'è modo di aggirarlo senza dover trovare un PC?
grazie ancora
stasera scrivo i passi avanti e i dubbi restanti
per la scrittura in formule mi pare di avere capito che il problema è che io uso Mac (di base uso Safari, ma ho provato anche con Firefox ma niente da fare); può essere questo il problema? C'è modo di aggirarlo senza dover trovare un PC?
grazie ancora
Io sono su Mac con Chrome e non ho problemi 
. In sostanza si tratta di racchiudere le formule tra due simboli di dollaro per far apparire tutto come deve (a volte ci mette qualche secondo a caricare l'anteprima, questo sì!). Nel topic di istruzioni sono inoltre elencati i codici per i simboli matematici più frequenti.
Resto in attesa dei tuoi dubbi.
Paola
. In sostanza si tratta di racchiudere le formule tra due simboli di dollaro per far apparire tutto come deve (a volte ci mette qualche secondo a caricare l'anteprima, questo sì!). Nel topic di istruzioni sono inoltre elencati i codici per i simboli matematici più frequenti.Resto in attesa dei tuoi dubbi.
Paola
ho provato a modificare il primo post con il linguaggio giusto ma continua a non funzionare (sto usando chrome anche io adesso); quale può essere il problema?
intanto vado avanti spiegandoti i miei dubbi, ok?
uso un sistema diverso (con un solo parametro, così è dello stesso tipo di quelli dell'esame)
$\{(3x + 2y - 5z = 0),(2x + y - z = -2),(x + az =7):}$ $\A=((3,2,-5),(2,1,-1),(1,0,a))$ $\A|B=((3,2,-5,0),(2,1,-1,2),(1,0,a,7))$
calcolo il $\detA rArr =3-a$ giusto?
pongo $\3-a!=0$ $\rArr$ il rango è 3, quindi ho una sola soluzione, giusto?
risolvo con Cramer:
$\x=(21-4a)/(3-a)$ $y=(6a-39)/(3-a)$ $z=(-3)/(3-a)$
e queste sono le soluzioni finali giusto? cioè le lascio indicate così?
poi, e qui spuntano i dubbi più grossi, guardo cosa succede per $a=3$ giusto?
$A|B=((3,2,-5,0),(2,1,-1,2),(1,0,3,7))$
da quanto ho capito qui calcolo il rango, che dovrebbe per forza essere minore di 3, ok?
$|(3,2),(2,1)|!=0 rArr rankA=2$ questo passaggio non sono molto sicuro sia giusto
poi calcolo il rango di $A|B$ con l'orlato:
$|(3,2,-5),(2,1,-1),(1,0,3)|=3-3=0 rArr rankA|B=2 rArr$ il sistema è determinato con $oo$ soluzioni
giusto?
sono riuscito a scrivere correttamente!
ora correggo il primo post
se questo esercizio è corretto poi ti chiedo come comportarmi con matrici non quadrate, grazie ancora per la tua disponibilità
intanto vado avanti spiegandoti i miei dubbi, ok?
uso un sistema diverso (con un solo parametro, così è dello stesso tipo di quelli dell'esame)
$\{(3x + 2y - 5z = 0),(2x + y - z = -2),(x + az =7):}$ $\A=((3,2,-5),(2,1,-1),(1,0,a))$ $\A|B=((3,2,-5,0),(2,1,-1,2),(1,0,a,7))$
calcolo il $\detA rArr =3-a$ giusto?
pongo $\3-a!=0$ $\rArr$ il rango è 3, quindi ho una sola soluzione, giusto?
risolvo con Cramer:
$\x=(21-4a)/(3-a)$ $y=(6a-39)/(3-a)$ $z=(-3)/(3-a)$
e queste sono le soluzioni finali giusto? cioè le lascio indicate così?
poi, e qui spuntano i dubbi più grossi, guardo cosa succede per $a=3$ giusto?
$A|B=((3,2,-5,0),(2,1,-1,2),(1,0,3,7))$
da quanto ho capito qui calcolo il rango, che dovrebbe per forza essere minore di 3, ok?
$|(3,2),(2,1)|!=0 rArr rankA=2$ questo passaggio non sono molto sicuro sia giusto
poi calcolo il rango di $A|B$ con l'orlato:
$|(3,2,-5),(2,1,-1),(1,0,3)|=3-3=0 rArr rankA|B=2 rArr$ il sistema è determinato con $oo$ soluzioni
giusto?
sono riuscito a scrivere correttamente!
ora correggo il primo post
se questo esercizio è corretto poi ti chiedo come comportarmi con matrici non quadrate, grazie ancora per la tua disponibilità
Ciao, il determinante mi risulta quello. Solo una nota: nella seconda equazione del sistema hai termine noto $-2$, ma nella matrice completa hai messo $2$. Do per buono il sistema, ok?
Le soluzioni vanno benissimo indicate così.
Veniamo al caso $a= 3$. Come hai detto tu $rank A =2$ in quanto hai trovato un minore non nullo di dimensione $2$ (come mai non sei sicuro di quel punto? Forse posso chiarire i tuoi dubbi). Confermo anche il passaggio finale per $rank A|b$: infatti il vantaggio del metodo degli orlati è quello che, una volta trovato un minore non nullo di ordine $k$, si può orlare quello, limitando di molto le possibilità! Tu l'hai orlato nell'unico modo possibile e quindi puoi concludere che $rank A|b=2$.
Dunque nel caso $a=3$ concludiamo che $rank A = rank A|b =2 <$ numero incognite$\to$ sistema indeterminato con $\infty^1$ soluzioni (cioè un parametro libero).
Per esprimere in questo caso le soluzioni scegliamo una variabile come parametro ed esprimiamo le altre in sua funzione. Prima di tutto eliminiamo la terza equazione in quanto il calcolo del rango di $A$ ci ha confermato che essa è ridondante (hai infatti usato come minore quello formato dalle prime due righe!). Scegliamo $z$ come parametro (è arbitrario):
$\{(3x+2y=5t),(2x+y=-2+t),(z=t):}\to \{(3x+2(-2+t-2x)=5t),(y=-2+t-2x),(z=t):}\to\{(x=-4-3t),(y=-2+t-2x),(z=t):}$
$\to \{(x=-4-3t),(y=6+7t),(z=t):}$
Le soluzioni saranno rappresentate dall'insieme $\{(-4-3t,6+7t,t), t\in\mathbb{R}\}$
Infine la domanda finale: se hai una matrice non quadrata il procedimento è analogo, solo che non puoi partire calcolando un determinante. Niente panico, parti calcolando $rank A$ con il metodo degli orlati, tutto qui!
Paola
Le soluzioni vanno benissimo indicate così.
Veniamo al caso $a= 3$. Come hai detto tu $rank A =2$ in quanto hai trovato un minore non nullo di dimensione $2$ (come mai non sei sicuro di quel punto? Forse posso chiarire i tuoi dubbi). Confermo anche il passaggio finale per $rank A|b$: infatti il vantaggio del metodo degli orlati è quello che, una volta trovato un minore non nullo di ordine $k$, si può orlare quello, limitando di molto le possibilità! Tu l'hai orlato nell'unico modo possibile e quindi puoi concludere che $rank A|b=2$.
Dunque nel caso $a=3$ concludiamo che $rank A = rank A|b =2 <$ numero incognite$\to$ sistema indeterminato con $\infty^1$ soluzioni (cioè un parametro libero).
Per esprimere in questo caso le soluzioni scegliamo una variabile come parametro ed esprimiamo le altre in sua funzione. Prima di tutto eliminiamo la terza equazione in quanto il calcolo del rango di $A$ ci ha confermato che essa è ridondante (hai infatti usato come minore quello formato dalle prime due righe!). Scegliamo $z$ come parametro (è arbitrario):
$\{(3x+2y=5t),(2x+y=-2+t),(z=t):}\to \{(3x+2(-2+t-2x)=5t),(y=-2+t-2x),(z=t):}\to\{(x=-4-3t),(y=-2+t-2x),(z=t):}$
$\to \{(x=-4-3t),(y=6+7t),(z=t):}$
Le soluzioni saranno rappresentate dall'insieme $\{(-4-3t,6+7t,t), t\in\mathbb{R}\}$
Infine la domanda finale: se hai una matrice non quadrata il procedimento è analogo, solo che non puoi partire calcolando un determinante. Niente panico, parti calcolando $rank A$ con il metodo degli orlati, tutto qui!
Paola
eccomi!
allora: nella seconda equazione il termine noto è $2$, ora correggo (quindi i tuoi calcoli nell'ultimo passaggio cambieranno un po', ma il ragionamento l'ho capito se li ho fatti bene risultano ${(4-3t,7t-6,t),t in RR}$)
il mio dubbio nel caso $a=3$ è se basta cercare un minore 2x2 con $det!=0$ (ad esempio se il primo viene $=0$ ne cerco altri sempre 2x2 o cambia qualcosa? e se non ci sono minori 2x2 con $det!=0$?);
a quel punto verifico che il $det$ dell'orlo sia $=0$ ed ho il rango? se è così, ci sono
e nel caso il rango dell'orlo venga $!=0$ come procedo?
ho provato a iniziare un sistema 3x2
${(x+y=3),(2ax+y=6),(3x-y=1):}$
e
$A=((1,1),(2a,1),(3,-1)) A|B=((1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1))$
come mi hai detto calcolo il $rankA$ con gli orlati
$|(1,1),(2a,1)|=1-2a$
qui cosa faccio? pongo $1-2a!=0$??
$|(1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1)|=13+4a$ come proseguo (ammesso che fin qui sia corretto)?
grazie mille!
allora: nella seconda equazione il termine noto è $2$, ora correggo
(quindi i tuoi calcoli nell'ultimo passaggio cambieranno un po', ma il ragionamento l'ho capito se li ho fatti bene risultano ${(4-3t,7t-6,t),t in RR}$)il mio dubbio nel caso $a=3$ è se basta cercare un minore 2x2 con $det!=0$ (ad esempio se il primo viene $=0$ ne cerco altri sempre 2x2 o cambia qualcosa? e se non ci sono minori 2x2 con $det!=0$?);
a quel punto verifico che il $det$ dell'orlo sia $=0$ ed ho il rango? se è così, ci sono
e nel caso il rango dell'orlo venga $!=0$ come procedo?
ho provato a iniziare un sistema 3x2
${(x+y=3),(2ax+y=6),(3x-y=1):}$
e
$A=((1,1),(2a,1),(3,-1)) A|B=((1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1))$
come mi hai detto calcolo il $rankA$ con gli orlati
$|(1,1),(2a,1)|=1-2a$
qui cosa faccio? pongo $1-2a!=0$??
$|(1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1)|=13+4a$ come proseguo (ammesso che fin qui sia corretto)?
grazie mille!
Sulla prima domanda, sul primo problema: se vuoi mostrare che $rank A=2$ devi trovare un minore non nullo di ordine $2$... magari ne esiste solo uno e non lo trovi al primo tentativo. Gli orlati aiutano in questo senso (beh con un minore di ordine 2 in maniera limitata vista la facilità del calcolo) ma puoi pur sempre essere sfortunato e beccare il minore di ordine 2 dopo 100 tentativi 
. Se ne trovi uno non nullo bene, ti fermi lì (e, se vuoi vedere se il rango è maggiore, orli quello... diciamo che quello è un po' il tuo punto fisso), altrimenti ne cerchi altri finché non ne trovi uno. Se dopo averli provati tutti nessuno va bene, allora $rank A<2$.
Sulla seconda domanda: bisogna cercare di coinvolgere il parametro meno possibile. Si vede infatti che esiste un minore senza parametro non nullo di ordine di 2: $|(1,1),(3,-1)|\ne 0$, quindi $rank A =2$ per ogni valore di $a$. Di conseguenza, $rank A|b \geq 2$. Vediamo quando è $3$: $det A|b = 4(1-2a)$
Quindi se $1-2a =0$ si ha $rank A = rank A|b = 2$ cioè sistema indeterminato (1 grado di libertà). Se $1-2a\ne 0$ si ha $rank A|b \ne rank A$ cioè sistema impossibile.
Paola
. Se ne trovi uno non nullo bene, ti fermi lì (e, se vuoi vedere se il rango è maggiore, orli quello... diciamo che quello è un po' il tuo punto fisso), altrimenti ne cerchi altri finché non ne trovi uno. Se dopo averli provati tutti nessuno va bene, allora $rank A<2$.Sulla seconda domanda: bisogna cercare di coinvolgere il parametro meno possibile. Si vede infatti che esiste un minore senza parametro non nullo di ordine di 2: $|(1,1),(3,-1)|\ne 0$, quindi $rank A =2$ per ogni valore di $a$. Di conseguenza, $rank A|b \geq 2$. Vediamo quando è $3$: $det A|b = 4(1-2a)$
Quindi se $1-2a =0$ si ha $rank A = rank A|b = 2$ cioè sistema indeterminato (1 grado di libertà). Se $1-2a\ne 0$ si ha $rank A|b \ne rank A$ cioè sistema impossibile.
Paola
ok, ci sono!
solo non ho capito il passaggio dove dici: "vediamo quando è $3: detA|b=4(1-2a)$
cioè il $detA|b$ l'hai calcolato normalmente? (quindi il mio $13+4a$ era sbagliato) o hai fatto qualche passaggio/sostituzione?
e si segue lo stesso sistema anche in caso di matrici a 2 equazioni e 3 incognite, quindi 2x3?
solo non ho capito il passaggio dove dici: "vediamo quando è $3: detA|b=4(1-2a)$
cioè il $detA|b$ l'hai calcolato normalmente? (quindi il mio $13+4a$ era sbagliato) o hai fatto qualche passaggio/sostituzione?
e si segue lo stesso sistema anche in caso di matrici a 2 equazioni e 3 incognite, quindi 2x3?
Ricontrollo i miei conti con Sarrus: $1+18-6a-(9-6+2a)=-8a+16=8(-a+2)$, addirittura un nuovo risultato . Ti torna?
Paola
. Ti torna?Paola
con Sarrus viene $8(2-a)$ anche a me, quindi forse è quello giusto
anche rifacendo i calcoli normalmente ora viene giusto
$|(1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1)|=1|(1,6),(-1,1)|-1|(2a,6),(3,1)|+3|(2a,1),(3,-1)|=1(1+6)-1(2a-18)+3(-2a-3)=$
$=7-2a+18-6a-9 =16-8a=8(2-a)$
quindi ora il ragionamento è: se $2-a=0$ il sistema è determinato con 1 soluzione
(e come la calcolo, con Cramer? non è quadrata...)
se $2-a!=0$ il sistema è impossibile
giusto?
anche rifacendo i calcoli normalmente ora viene giusto
$|(1,1,3),(2a,1,6),(3,-1,1)|=1|(1,6),(-1,1)|-1|(2a,6),(3,1)|+3|(2a,1),(3,-1)|=1(1+6)-1(2a-18)+3(-2a-3)=$
$=7-2a+18-6a-9 =16-8a=8(2-a)$
quindi ora il ragionamento è: se $2-a=0$ il sistema è determinato con 1 soluzione
(e come la calcolo, con Cramer? non è quadrata...)
se $2-a!=0$ il sistema è impossibile
giusto?
No, come dicevo se $2-a=0$ il sistema è indeterminato, infinite soluzioni, poichè è vero che si ha $rank A = rank A|b =2$ (quindi il sistema HA soluzione), ma le incognite sono $3\ne 2$ quindi non è determinato (è semplicemente Rouchè Capelli!).
Invece se $2-a\ne 0$ i ranghi delle due matrici sono diversi e dunque il sistema non ha soluzione, è impossibile.
Paola
Invece se $2-a\ne 0$ i ranghi delle due matrici sono diversi e dunque il sistema non ha soluzione, è impossibile.
Paola
no aspetta, in che senso le incognite sono $3!=02$?
le incognite sono 2, quindi pensavo che visto che sono uguali al $rank$ si avesse un'unica soluzione, non è così?
se non è così, qual'è la condizione per cui si ha una sola soluzione?
le incognite sono 2, quindi pensavo che visto che sono uguali al $rank$ si avesse un'unica soluzione, non è così?
se non è così, qual'è la condizione per cui si ha una sola soluzione?
Sono in pieno pregnancy brain, scusa. Hai ragionissima tu, 2 incognite = rango matrici, sistema determinato. A questo punto per usare Cramer (come giustamente dici tu la matrice non è quadrata) devi eliminare le equazioni ridondanti. Per scegliere quali eliminare vai a rivedere quale minore hai usato per il rango di $A$ : ecco coinvolgeva le righe 1 e 3, quindi la riga del sistema da eliminare è la 2. Riscrivi dunque la matrice senza la seconda riga e poi potrai applicare Cramer!
In generale la regola è che toglie le righe che non hai "coinvolto" nel calcolo del rango.
Paola
In generale la regola è che toglie le righe che non hai "coinvolto" nel calcolo del rango.
Paola
Tranquilla... ora tutto torna!
grazie mille!
ultima domanda, poi non ti disturbo più (spero )
in caso di sistemi con 2 equazioni e 3 incognite come si procede? questo metodo non funziona perché non saprei come fare l'orlo
es:
${(4x-2y+z=2),(8x-4y+2z=a):}$
grazie mille!
ultima domanda, poi non ti disturbo più (spero
)in caso di sistemi con 2 equazioni e 3 incognite come si procede? questo metodo non funziona perché non saprei come fare l'orlo
es:
${(4x-2y+z=2),(8x-4y+2z=a):}$
Niente panico il concetto è lo stesso, credimi. Scrivo direttamente la matrice completa:
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
4&-2&1&2\\
8&-4&2&a
\end{array}\right)[/tex]
Partiamo da $rank A$: vedo subito che tutti i minori di ordine 2 sono nulli... anche senza fare i conti (ma uno può passare anche di lì!) noto che le colonne 1 e 2 sono proporzionali alla terza! Quindi $rank A =1$.
Vediamo $rank A|b$. Ora, abbiamo già visto che le tre colonne di $A$ sono equivalenti perché sono semplicemente la terza colonna moltiplicata per una costante... dunque possiamo sceglierne una qualunque da orlare e sappiamo che non dovremo controllare anche le altre. Prendiamo la terza e orliamola con la colonna dei termini noti $|(1,2),(2,a)|=a-4$. Perciò spezziamo in due casi:
1. $a=4$: $rank A|b=rank A=1$ sistema indeterminato.
2. $a\ne 4$: $ rank A\ne rank A|b$ sistema impossibile.
Paola
il concetto è lo stesso, credimi. Scrivo direttamente la matrice completa:[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
4&-2&1&2\\
8&-4&2&a
\end{array}\right)[/tex]
Partiamo da $rank A$: vedo subito che tutti i minori di ordine 2 sono nulli... anche senza fare i conti (ma uno può passare anche di lì!) noto che le colonne 1 e 2 sono proporzionali alla terza! Quindi $rank A =1$.
Vediamo $rank A|b$. Ora, abbiamo già visto che le tre colonne di $A$ sono equivalenti perché sono semplicemente la terza colonna moltiplicata per una costante... dunque possiamo sceglierne una qualunque da orlare e sappiamo che non dovremo controllare anche le altre. Prendiamo la terza e orliamola con la colonna dei termini noti $|(1,2),(2,a)|=a-4$. Perciò spezziamo in due casi:
1. $a=4$: $rank A|b=rank A=1$ sistema indeterminato.
2. $a\ne 4$: $ rank A\ne rank A|b$ sistema impossibile.
Paola
ottimo! provo a farne una qui sotto così vediamo se ho capito:
${(2x+y-z=1),(3x-y+az=4):}$ e $((2,1,-1,|1),(3,-1,a,|4))$
$|(2,1),(3,-1)|=-2-3=-5!=0 rarr rankA=2$
cerco il $rankA|b$ provando i vari minori 2x2:
$|(2,1),(3,4)|=8-3=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(1,1),(-1,4)|=4+1=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(-1,1),(a,4)|=-4-a$ studio i due casi
Se $-4-a!=0 rArr a!=-4 rArr$ sistema impossibile
Se $-4-a=0 rArr a=-4 rArr$ sistema det con 1 soluzione, giusto?
poi mi basta sostituire la $a$ e calcolare le soluzioni con la sostituzione, giusto?
il sistema mi risulterebbe:
${(x=2),(y=-2),(z=1):}$
è corretto?
${(2x+y-z=1),(3x-y+az=4):}$ e $((2,1,-1,|1),(3,-1,a,|4))$
$|(2,1),(3,-1)|=-2-3=-5!=0 rarr rankA=2$
cerco il $rankA|b$ provando i vari minori 2x2:
$|(2,1),(3,4)|=8-3=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(1,1),(-1,4)|=4+1=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(-1,1),(a,4)|=-4-a$ studio i due casi
Se $-4-a!=0 rArr a!=-4 rArr$ sistema impossibile
Se $-4-a=0 rArr a=-4 rArr$ sistema det con 1 soluzione, giusto?
poi mi basta sostituire la $a$ e calcolare le soluzioni con la sostituzione, giusto?
il sistema mi risulterebbe:
${(x=2),(y=-2),(z=1):}$
è corretto?
Giusto fino a $rank A=2$, dopo di che non capisco perché calcoli tutti i minori di ordine 2 di $A|b$: già il primo che trovi è non nullo, quindi puoi concludere $rank A|b =2$ per ogni valore di $a$ (dato che $a$ non è coinvolto) .
Paola
.Paola
io ragionavo sul fatto che perche $rankA|b$ fosse uguale al $rankA$ dovessi trovare un minore orlato $!=0$ pensando agli esercizi precedenti dove avevo $rankA=3$, invece qui il è $2$ quindi su un minore 2x2 mi basta trovarne uno non nullo, è così?
grazie
e scusa le continue domande ma mi sta scoppiando il cervello in questi giorni!
e per lunedì devo ancora imparare (anche se la vedo dura) lo studio di funzione, che per passare l'esame è praticamente obbligatorio...
grazie
e scusa le continue domande ma mi sta scoppiando il cervello in questi giorni!
e per lunedì devo ancora imparare (anche se la vedo dura) lo studio di funzione, che per passare l'esame è praticamente obbligatorio...
Non devi "forzare" i ranghi ad essere uguali, devi calcolarli ognuno per sè e vedere per quali condizioni lo sono e per quali no e trarre delle conclusioni sul sistema .
Se vuoi postare altri esercizi che provi ci do volentieri un'occhiata... penso che tu sia vicino ad essere ben preparato ma vedo che ancora sei insicuro su alcuni dettagli.
Per lo studio di funzione ti segnalo alcuni appunti stravecchi che postai su Matematicamente:
https://www.matematicamente.it/staticfil ... lisi_I.pdf
In fondo c'è uno schema per lo studio di funzione e prima ci sono teoremi e definizioni utili ad esso.
Se cerchi tra gli appunti del sito comunque sono convinta che ci siano anche altri appunti schematici per lo studio di funzione con magari esempi, è un procedimento molto classico!
Paola
.Se vuoi postare altri esercizi che provi ci do volentieri un'occhiata... penso che tu sia vicino ad essere ben preparato ma vedo che ancora sei insicuro su alcuni dettagli.
Per lo studio di funzione ti segnalo alcuni appunti stravecchi che postai su Matematicamente:
https://www.matematicamente.it/staticfil ... lisi_I.pdf
In fondo c'è uno schema per lo studio di funzione e prima ci sono teoremi e definizioni utili ad esso.
Se cerchi tra gli appunti del sito comunque sono convinta che ci siano anche altri appunti schematici per lo studio di funzione con magari esempi, è un procedimento molto classico!
Paola
ok, farò altri esercizi, magari ne posto uno o due 
però non prima di stasera (oggi la giornata è più o meno dedicata a Geometria il cui esame è mercoledì; lo so, è una settimana da incubo )
ti ringrazio anche per la guida per lo studio di funzione, ho provato a darle un'occhiata rapida e per me è oltre l'arabo!
Purtroppo le grosse lacune (limiti, derivate, la e proprio non riesco a capire cosa sia e come vada usata, e altre belle cosette) lasciatemi dal liceo classico sono davvero profonde (
)
finche si parla di algebra riesco a cavarmela recuperando quello che mi manca (anche perchè la matematica è sempre stata una delle mie materie preferite e in cui andavo meglio) senza troppi problemi, ma con l'analisi non riesco a fare altrettanto...
sarà un weekend di full-immersion e vediamo cosa verrà fuori all'esame!
quello che mi fa arrabbiare è che in teoria il compito non è neanche troppo complicato:
1 sistema
1 studio di funzione
1 studio di continuità e derivabilità in base a 2 parametri (credo, in realtà non l'ho ben capito cosa chieda)
1 esercizio di geometria analitica (della quale ho solo qualche reminiscenza)
scusa lo sfogo ma arrivato a soli 3 giorni mi sembra francamente un ostacolo insormontabile...
in ogni caso mi farò vivo per vedere insieme altri esercizi sulle matrici!
grazie mille per l'aiuto!
però non prima di stasera (oggi la giornata è più o meno dedicata a Geometria il cui esame è mercoledì; lo so, è una settimana da incubo
)ti ringrazio anche per la guida per lo studio di funzione, ho provato a darle un'occhiata rapida e per me è oltre l'arabo!
Purtroppo le grosse lacune (limiti, derivate, la e proprio non riesco a capire cosa sia e come vada usata, e altre belle cosette) lasciatemi dal liceo classico sono davvero profonde (
)finche si parla di algebra riesco a cavarmela recuperando quello che mi manca (anche perchè la matematica è sempre stata una delle mie materie preferite e in cui andavo meglio) senza troppi problemi, ma con l'analisi non riesco a fare altrettanto...
sarà un weekend di full-immersion e vediamo cosa verrà fuori all'esame!
quello che mi fa arrabbiare è che in teoria il compito non è neanche troppo complicato:
1 sistema
1 studio di funzione
1 studio di continuità e derivabilità in base a 2 parametri (credo, in realtà non l'ho ben capito cosa chieda)
1 esercizio di geometria analitica (della quale ho solo qualche reminiscenza)
scusa lo sfogo ma arrivato a soli 3 giorni mi sembra francamente un ostacolo insormontabile...
in ogni caso mi farò vivo per vedere insieme altri esercizi sulle matrici!
grazie mille per l'aiuto!
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