Sistemi lineari con parametro
ciao a tutti,
lunedì prossimo dovrò sostenere l'esame di matematica nella mia facoltà, io però avendo fatto il liceo classico sto facendo fatica a prepararmi, quindi chiedo a voi; la prima tipologia di esercizi sarà un sistema lineare con un parametro. (poi studi di funzione, ma aprirò un nuovo argomento apposta nei prossimi giorni
)
la richiesta è questa: "Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare le soluzioni".
studiando la teoria ho visto il teorema di Rouchè-Capelli e il metodo di Cramer.
ora veniamo ai miei dubbi:
in caso di una matrice 3x3, ad esempio (questa ha 2 parametri, io dovrei averne solo 1):
${(ax + 2y + bz = 1),(x + y + az = 1),(x + ay + bz = 1):}$
calcolo il determinante della matrice incompleta per controllare che sia ≠0; così la matrice ha rango 3, giusto?
ho calcolato il determinante della matrice incompleta: $detA=2ab-a^3-3b+2a$
poi l'ho posto ≠0: $detA=2ab-a^3-3b+2a!=0$
e l'ho esplicitato rispetto ad uno dei due parametri: $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$
(nel caso di un solo parametro arrivo ad una soluzione con a diverso ad un numero, giusto?)
da quanto ho capito con $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$ il sistema ammette 1 soluzione, giusto?
poi la teoria prosegue cambiando $!=$ con $=$ dicendo che allora la matrice ha rango =2
e quindi:
se $a!=1, a!=2$ o $a!=b rArr$ il sistema è impossibile
se $a=1, a=2$ o $a=b rArr$ il sistema ha $oo$ soluzioni
-arrivato a dichiarare che il sistema ammette 1 soluzione, come la trovo questa soluzione?
-invece questa seconda parte non l'ho capita, potete chiarmela?
Invece, in caso di una matrice 3x2 come questa, come devo procedere?
${(x + y = 3),(2ax + y = 6),(3x - y = 1):}$
scusate ma non sono riuscito a scrivere usando la scrittura matematica, ho provato ma non ci saltavo fuori.
grazie
edit: alla fine sono riuscito a capire come scrivere... io copiavo gli esempi della guida mettendo questo simbolo \ e mi scombinava tutto
lunedì prossimo dovrò sostenere l'esame di matematica nella mia facoltà, io però avendo fatto il liceo classico sto facendo fatica a prepararmi, quindi chiedo a voi; la prima tipologia di esercizi sarà un sistema lineare con un parametro. (poi studi di funzione, ma aprirò un nuovo argomento apposta nei prossimi giorni
)la richiesta è questa: "Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema risulta compatibile e per quei valori calcolare le soluzioni".
studiando la teoria ho visto il teorema di Rouchè-Capelli e il metodo di Cramer.
ora veniamo ai miei dubbi:
in caso di una matrice 3x3, ad esempio (questa ha 2 parametri, io dovrei averne solo 1):
${(ax + 2y + bz = 1),(x + y + az = 1),(x + ay + bz = 1):}$
calcolo il determinante della matrice incompleta per controllare che sia ≠0; così la matrice ha rango 3, giusto?
ho calcolato il determinante della matrice incompleta: $detA=2ab-a^3-3b+2a$
poi l'ho posto ≠0: $detA=2ab-a^3-3b+2a!=0$
e l'ho esplicitato rispetto ad uno dei due parametri: $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$
(nel caso di un solo parametro arrivo ad una soluzione con a diverso ad un numero, giusto?)
da quanto ho capito con $b!=(a^3-2a)/(2a-3)$ il sistema ammette 1 soluzione, giusto?
poi la teoria prosegue cambiando $!=$ con $=$ dicendo che allora la matrice ha rango =2
e quindi:
se $a!=1, a!=2$ o $a!=b rArr$ il sistema è impossibile
se $a=1, a=2$ o $a=b rArr$ il sistema ha $oo$ soluzioni
-arrivato a dichiarare che il sistema ammette 1 soluzione, come la trovo questa soluzione?
-invece questa seconda parte non l'ho capita, potete chiarmela?
Invece, in caso di una matrice 3x2 come questa, come devo procedere?
${(x + y = 3),(2ax + y = 6),(3x - y = 1):}$
scusate ma non sono riuscito a scrivere usando la scrittura matematica, ho provato ma non ci saltavo fuori.
grazie
edit: alla fine sono riuscito a capire come scrivere... io copiavo gli esempi della guida mettendo questo simbolo \ e mi scombinava tutto
Risposte
Devo essere sincera, non credo si impari lo studio di funzione in 3 giorni se non hai nessuna confidenza con derivate e limiti. Già le regole per la derivazione sono una parte che si impara in un bel po' di tempo e con un bel po' di esercizi.
Certo tu prova... ma se per caso l'esame non va bene considera di studiare per il prossimo tentativo per alcune settimane almeno.
In ogni caso degli appunti che ti ho postato ti consiglio di tenere buono lo schema finale, perché la cosa bella dello studio di funzione è che è piuttosto schematico, quello aiuta.
Paola
Certo tu prova... ma se per caso l'esame non va bene considera di studiare per il prossimo tentativo per alcune settimane almeno.
In ogni caso degli appunti che ti ho postato ti consiglio di tenere buono lo schema finale, perché la cosa bella dello studio di funzione è che è piuttosto schematico, quello aiuta.
Paola
rieccomi! sto facendo un po' di ripasso, e sta andando bene... però riguardando questo esercizio mi è venuto un dubbio:
arrivati a dire che il $rankA|b|!=0 rArr =2$ possiamo dire che il sistema è determinato per ogni valore di a $rankA=rankA|b$
ma le soluzioni come le calcolo?
"iDriver":
ottimo! provo a farne una qui sotto così vediamo se ho capito:
${(2x+y-z=1),(3x-y+az=4):}$ e $((2,1,-1,|1),(3,-1,a,|4))$
$|(2,1),(3,-1)|=-2-3=-5!=0 rarr rankA=2$
cerco il $rankA|b$ provando i vari minori 2x2:
$|(2,1),(3,4)|=8-3=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(1,1),(-1,4)|=4+1=5!=0 rarr$ non va bene ne cerco un altro
$|(-1,1),(a,4)|=-4-a$ studio i due casi
Se $-4-a!=0 rArr a!=-4 rArr$ sistema impossibile
Se $-4-a=0 rArr a=-4 rArr$ sistema det con 1 soluzione, giusto?
poi mi basta sostituire la $a$ e calcolare le soluzioni con la sostituzione, giusto?
il sistema mi risulterebbe:
${(x=2),(y=-2),(z=1):}$
è corretto?
"prime_number":
Giusto fino a $rank A=2$, dopo di che non capisco perché calcoli tutti i minori di ordine 2 di $A|b$: già il primo che trovi è non nullo, quindi puoi concludere $rank A|b =2$ per ogni valore di $a$ (dato che $a$ non è coinvolto).
Paola
arrivati a dire che il $rankA|b|!=0 rArr =2$ possiamo dire che il sistema è determinato per ogni valore di a $rankA=rankA|b$
ma le soluzioni come le calcolo?
No, attenzione, abbiamo che $rank A = rank A|b$ quindi il sistema possiede soluzione, tuttavia le incognite sono $3$ quindi non può essere determinato (dovremmo avere $rank A = rank A|b =$ num incognite), quindi è indeterminato.
Le soluzioni si calcolano in questo modo: prima di tutto i gradi di libertà (=numero parametri) sono (num incognite)-$rank A=1$. Sceglieremo dunque un'incognita, in modo arbitrario, come parametro (ad esempio $x$).
Ricaviamo le altre in sua funzione:
$\{(x=t),(y=1+z-2t),(az=4-3t + y):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(az=4-3t + 1+z-2t):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(z=\frac{1}{a-1}(5-5t) ):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(z=\frac{1}{a-1}(5-5t) ):}$ ... finisci tu perché sono pigra
.
Paola
Le soluzioni si calcolano in questo modo: prima di tutto i gradi di libertà (=numero parametri) sono (num incognite)-$rank A=1$. Sceglieremo dunque un'incognita, in modo arbitrario, come parametro (ad esempio $x$).
Ricaviamo le altre in sua funzione:
$\{(x=t),(y=1+z-2t),(az=4-3t + y):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(az=4-3t + 1+z-2t):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(z=\frac{1}{a-1}(5-5t) ):}\to\{(x=t),(y=1+z-2t),(z=\frac{1}{a-1}(5-5t) ):}$ ... finisci tu perché sono pigra
.Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo