Sistemi lineari, breve quesito

[andreajf89]

ho un tale quesito:

sia $A in M(RR)$. Si consideri il sistema lineare $AX=0$. Quali delle seguenti frasi è falsa?

A. se $A$ ha due soluzioni diverse il sistema ammette infinite soluzioni
B. se il sistema ha almeno una soluzione non nulla le righe di A sono proporzionali
C. se il sistema ha solo una soluzione allora $AX=0$ è equivalente a $A^2X=0$

la risposta giusta è (secondo il libro), la C. Ma in teoria, essendo il sistema omogeneo, la dimensione della soluzioni non dovrebbe coincidere con la dimensione del nucleo? perche in questo caso allora affinchè il nucleo non abbia dimensione nulla il rango della matrice A deve essere minore del numero di righe, e quindi le righe devono essere proporzionali (almeno due). quindi non vedo perche la B non debba essere corretta... (se non ricordo male una conferma in più di tale ipotesi è che tra l'altro $dimW= n - rho(A)$)

[ciampax]

Credo tu non abbia letto bene quali sono le possibilità. La B non può essere vera: infatti il sistema di equazioni $x-z=0,\ y-z=0$ ammette almeno una soluzione non nulla, ma le equazioni del sistema non sono assolutamente proporzionali. Quello che tu dici è giusto, e ti permette, invece, di escludere la risposta A (perché?). A questo punto per esclusione, ma anche ragionandoci su, l'unica risposta sensata è la C.