Sistemi lineari

[Pozzetto1]

Ciao a tutti.

Il problema è il seguente.

Ho due matrici $A$ e $b$ di cui devo calcolare il rango al variare di $k$ ed esprimere le soluzioni del sistema $Ax=b$


$A=((6k,4,-2,2),(4k+1,4,-1,1),(-2k-1,-2,1,-1),(2k+3,2,0,0))$ $b=((0),(1),(0),(2))$

Ho ridotto a gradini e sono arrivato a:

$A=((1,2,-1,3k,|,0),(0,2,0,k+1,|,1),(0,0,0,k-1,|,0),(0,0,0,k+2,|,1))$

Mi si dice che la matrice $A$ ha rango 3 per ogni valore di $k$ perchè i termini $k-1$ e $k+2$ non si possono annullare contemporaneamente!

Questa affermazione non mi è molto chiara.

[Gi81]

Se $k!=-2$ consideriamo il minore formato dalle colonne 1,2,4 e dalle righe 1,2,4:
$A_1=((1,2,3k),(0,2,k+1),(0,0,k+2))$. Il determinante è $2*(k+2)$, quindi non nullo.

Resta da valutare il caso $k=-2$:si vede subito chec'è un minore di ordine 3 non nullo ( a te i conti )

Ciò che ti è stato detto è corretto:
infatti il rango della matrice $A$ sarebbe stato minore di 3 solamente se sia $k-1=0$ che $k+2=0$ (contemporaneamente)
Ma ciò non è possibile: se uno dei due si annulla, l'altro è sicuramente diverso da 0. Ok?

Pertanto $AA k in RR$ si ha che $rg(A)=3$