Sistemi lineari
Ho un paio di domande delle cui risposte non sono certo...
1) Quand'è che un sistema lineare non ammette soluzioni e quindi è impossibile?
2) Quand'è che un sistema lineare ammette infinite soluzioni?
3) Quand'è che ammette 1 ed una sola soluzione?
Risposte:
1) Non ammette soluzioni quando il determinate è 0 e di conseguenza notiamo che c'è una dipendenza tra alcune righe o colonne. Restiamo con meno equazioni ma con le solite incognite. Una dimostrazione del fatto che il det sia 0 la si ha pure se applichiamo Cramer, abbiamo al denumeratore 0 e ciò è impossibile.
2) ...a questa non so dare risposta...
3) Quando il vettore B dei termini noti appartiene allo $span $ ovvero lo spazio generato dalle colonne di A (la matrice dei coefficienti). Sarei tentato di dire anche se è combinazione lineare di una colonna ma forse c'ho non garantisca che ci sia 1 sola soluzione ma più di una.
Vorrei sapere se ho risposto correttamente, la risposta alla 2 e un pò di chiarezza sull'ultimo discorso del vettore dei termini noti combinazione lineare di una colonna della matrice dei coefficienti. Grazie!
1) Quand'è che un sistema lineare non ammette soluzioni e quindi è impossibile?
2) Quand'è che un sistema lineare ammette infinite soluzioni?
3) Quand'è che ammette 1 ed una sola soluzione?
Risposte:
1) Non ammette soluzioni quando il determinate è 0 e di conseguenza notiamo che c'è una dipendenza tra alcune righe o colonne. Restiamo con meno equazioni ma con le solite incognite. Una dimostrazione del fatto che il det sia 0 la si ha pure se applichiamo Cramer, abbiamo al denumeratore 0 e ciò è impossibile.
2) ...a questa non so dare risposta...
3) Quando il vettore B dei termini noti appartiene allo $span $ ovvero lo spazio generato dalle colonne di A (la matrice dei coefficienti). Sarei tentato di dire anche se è combinazione lineare di una colonna ma forse c'ho non garantisca che ci sia 1 sola soluzione ma più di una.
Vorrei sapere se ho risposto correttamente, la risposta alla 2 e un pò di chiarezza sull'ultimo discorso del vettore dei termini noti combinazione lineare di una colonna della matrice dei coefficienti. Grazie!
Risposte
Mi sembra che in tutti casi tu consideri sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite. Allora il sistema si può scrivere come $AX=b$, dove $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ è la matrice dei coefficienti, $X \in \mathbb{R}^n$ è il vettore delle incognite e $b \in \mathbb{R}^n$ è il vettore dei termini noti.
Se la matrice dei coefficienti è invertibile allora il sistema ha una sola soluzione, e vale $X=A^{-1}b$.
Se invece tale matrice non è invertibile si distinguono due casi:
-se il vettore $b$ appartiene all'immagine della matrice allora il sistema ha infinite soluzioni
-se il vettore $b$ non appartiene all'immagine della matrice allora il sistema non è risolubile.
Se la matrice dei coefficienti è invertibile allora il sistema ha una sola soluzione, e vale $X=A^{-1}b$.
Se invece tale matrice non è invertibile si distinguono due casi:
-se il vettore $b$ appartiene all'immagine della matrice allora il sistema ha infinite soluzioni
-se il vettore $b$ non appartiene all'immagine della matrice allora il sistema non è risolubile.
se non è invertibile non è n x n o sbaglio?
voglio dire se non posso calcolarmi il determinante come posso fare l'inversa?
ok cmq grazie per l'illuminazione... per immagine della matrice intendi $L_A$ ovvero tutte le possibili soluzioni dell'applicazione $L$ su $A$ ?
voglio dire se non posso calcolarmi il determinante come posso fare l'inversa?
ok cmq grazie per l'illuminazione... per immagine della matrice intendi $L_A$ ovvero tutte le possibili soluzioni dell'applicazione $L$ su $A$ ?
Se la matrice non è quadrata è chiaro che non si può invertire. Una matrice quadrata non è invertibile, quindi è singolare, se ha determinante nullo.
Per immagine di una matrice intendo lo spazio generato dalle colonne.
Per immagine di una matrice intendo lo spazio generato dalle colonne.
ok perfetto in questi casi allora procedo così..
triangolo la matrice, laplace o cmq uso la maniera + veloce per trovare il determinante..
se è diverso da 0 perfetto ha 1 soluzione...
se è uguale a 0 allora guardo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare di una qualsiasi colonna di A...
se sì, allora ha infinite soluzioni...
altrimenti, non ha soluzioni...
triangolo la matrice, laplace o cmq uso la maniera + veloce per trovare il determinante..
se è diverso da 0 perfetto ha 1 soluzione...
se è uguale a 0 allora guardo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare di una qualsiasi colonna di A...
se sì, allora ha infinite soluzioni...
altrimenti, non ha soluzioni...
"Lammah":
se è uguale a 0 allora guardo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare di una qualsiasi colonna di A...
Non combinazione di una qualsiasi colonna di $A$, ma combinazione delle colonne di $A$.
ah... ok...
