Sistemi lineari

Lammah
Ho un paio di domande delle cui risposte non sono certo...
1) Quand'è che un sistema lineare non ammette soluzioni e quindi è impossibile?
2) Quand'è che un sistema lineare ammette infinite soluzioni?
3) Quand'è che ammette 1 ed una sola soluzione?

Risposte:
1) Non ammette soluzioni quando il determinate è 0 e di conseguenza notiamo che c'è una dipendenza tra alcune righe o colonne. Restiamo con meno equazioni ma con le solite incognite. Una dimostrazione del fatto che il det sia 0 la si ha pure se applichiamo Cramer, abbiamo al denumeratore 0 e ciò è impossibile.
2) ...a questa non so dare risposta...
3) Quando il vettore B dei termini noti appartiene allo $span $ ovvero lo spazio generato dalle colonne di A (la matrice dei coefficienti). Sarei tentato di dire anche se è combinazione lineare di una colonna ma forse c'ho non garantisca che ci sia 1 sola soluzione ma più di una.

Vorrei sapere se ho risposto correttamente, la risposta alla 2 e un pò di chiarezza sull'ultimo discorso del vettore dei termini noti combinazione lineare di una colonna della matrice dei coefficienti. Grazie!

Risposte
_Tipper
Mi sembra che in tutti casi tu consideri sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite. Allora il sistema si può scrivere come $AX=b$, dove $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ è la matrice dei coefficienti, $X \in \mathbb{R}^n$ è il vettore delle incognite e $b \in \mathbb{R}^n$ è il vettore dei termini noti.
Se la matrice dei coefficienti è invertibile allora il sistema ha una sola soluzione, e vale $X=A^{-1}b$.
Se invece tale matrice non è invertibile si distinguono due casi:
-se il vettore $b$ appartiene all'immagine della matrice allora il sistema ha infinite soluzioni
-se il vettore $b$ non appartiene all'immagine della matrice allora il sistema non è risolubile.

Lammah
se non è invertibile non è n x n o sbaglio?
voglio dire se non posso calcolarmi il determinante come posso fare l'inversa?
ok cmq grazie per l'illuminazione... per immagine della matrice intendi $L_A$ ovvero tutte le possibili soluzioni dell'applicazione $L$ su $A$ ?

_Tipper
Se la matrice non è quadrata è chiaro che non si può invertire. Una matrice quadrata non è invertibile, quindi è singolare, se ha determinante nullo.

Per immagine di una matrice intendo lo spazio generato dalle colonne.

Lammah
ok perfetto in questi casi allora procedo così..
triangolo la matrice, laplace o cmq uso la maniera + veloce per trovare il determinante..
se è diverso da 0 perfetto ha 1 soluzione...
se è uguale a 0 allora guardo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare di una qualsiasi colonna di A...
se sì, allora ha infinite soluzioni...
altrimenti, non ha soluzioni...

_Tipper
"Lammah":
se è uguale a 0 allora guardo se la colonna dei termini noti è combinazione lineare di una qualsiasi colonna di A...

Non combinazione di una qualsiasi colonna di $A$, ma combinazione delle colonne di $A$.

Lammah
ah... ok... ;)

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